Abstract
The purpose of the present study was to examine the structure and development of algebraic thinking across multiple dimensions. An algebraic thinking test was administered to 803 students aged 10–13 years old. One hundred and one students of different performance outcomes in the algebraic thinking test participated in semi-structured clinical interviews in order to develop further insights into students’ strategies and difficulties. The results confirmed the multifaceted nature of algebraic thinking and showed that algebraic thinking consists of three aspects: reasoning about covariation, generalization of arithmetic properties and abilities directly related to algebraic syntax. Each one of these aspects is composed of specific algebraic thinking abilities, such as modelling relations using algebraic symbols. Four groups of students of different algebraic thinking profiles were identified: ‘pre-algebraic’, ‘protoalgebraic-procedural’, ‘relational-symbolic algebraic thinking’ and ‘structural-global algebraic thinking’. The results also supported the presence of a consistent trend in the difficulty level across the algebraic thinking abilities, which suggests a specific developmental trend from a more procedural perspective of algebraic thinking to a more structural one.
In recent years, there has been an increased emphasis on algebraic thinking in earlier grades (i.e., early algebra), which is reflected in numerous research studies and in a number of influential policy documents. Several studies (e.g., Blanton et al., 2018; Carpenter, Franke, & Levi, 2003) provide evidence that elementary school children can engage in sophisticated practices of algebraic thinking — generalizing, representing, justifying, and reasoning with mathematical structure and relationships — across a broad set of core content areas involving generalized arithmetic; concepts associated with equivalence, expressions, equations, and inequalities; and functional thinking. (Blanton, Brizuela, et al. (2018), p. 46)
The majority of previous studies regarding early algebra have focused mainly on the investigation of a certain aspect or dimension of algebraic thinking. According to Carraher and Schliemann (2007), relatively few studies have attempted to characterize the field exhaustively. Two well-known descriptions of algebraic thinking, the first one presented by Kaput (2008) and the other one by Kieran (2004), provide a comprehensive view of algebraic thinking. Even though it has become clear that learning algebra and algebraic thinking are very complex tasks composed of many ingredients, what still seems to be missing is a deeper understanding of how all these components work together and how they relate not only in theory but in the observable behaviour of learners (Oldenburg, 2012) and more specifically of young children. According to Kieran (2011), the ways in which her model can be adapted for an early algebra context have largely been left unarticulated. Examining further, the structure of algebraic thinking based on empirical data with primary school students can deepen our understanding of younger students’ algebraic thinking.
Furthermore, some researchers (e.g., Cai, Moyer, Wang, & Nie, 2011; Lian & Yew, 2012) highlight the need for a general model that characterizes the growth of students’ algebraic thinking and describes different levels of algebraic thinking. In a few studies (e.g., Lian & Yew, 2012), the Structure of Observed Learning Outcome (SOLO) taxonomy (Biggs & Collis, 1982) was adopted to characterize the development of students’ pattern generalization ability and their ability to solve equations. Even though these studies (e.g., Lian & Yew, 2012) provide important data regarding students’ algebraic thinking, their descriptions include different levels of ability regarding a certain aspect/dimension of algebraic thinking (e.g., solving equations or generalization of patterns). A recent proposal for a comprehensive characterization of the development of algebraic thinking is presented by Godino et al. (2015). More specifically, Godino et al. (2015) proposed a model with distinct levels of algebraic thinking for primary and secondary education based on three criteria: type of language used (e.g., natural, symbolic-literal), degree of generality of the solutions and syntactic or analytical calculation that is applied. However, a comprehensive description of algebraic thinking levels or of groups with varying performance and behaviour, which is based on the detection of progression in students’ own behaviour and performance in algebraic tasks and not on certain predetermined criteria, could provide further information and insightful data regarding the nature and development of younger students’ algebraic thinking. Taking into consideration the multifaceted nature of algebraic thinking, further research is needed for a comprehensive framework which characterizes the development of students’ algebraic thinking across multiple dimensions based on both quantitative and qualitative data regarding students’ performance and behaviours.
Therefore, the specific aims of the present study are the following: (a) to examine the structure of students’ algebraic thinking by proposing a model that incorporates most of the previous related research and describes the nature of algebraic thinking across several dimensions; (b) to provide a comprehensive description of groups of different algebraic thinking profiles with varying performance and behaviours based on the multiple dimensions of algebraic thinking; and (c) to examine whether students’ varying performance and behaviour in tasks which correspond to the multiple dimensions of algebraic thinking provide insights of a developmental trend from a more procedural perspective of algebraic thinking to a more structural one.
Theoretical background
Algebraic thinking descriptions
According to Kieran (2004), ‘algebraic thinking in the early grades involves the development of ways of thinking … such as, analysing relationships between quantities, noticing structure, studying change, generalizing, modelling, justifying, and predicting’ (p. 149). While Kieran (2004) explicitly states and refers to activities that one could be engaged in without using any letter-symbolic algebra at all, Kaput’s (2008) main thrust has been on the overarching role of generalization and its gradual symbolization (Kieran, 2011). Kaput (2008) specifies that there are two core aspects of algebraic thinking: (i) making and expressing generalizations with increasingly conventional symbol systems; and (ii) syntactically guided manipulations of symbolic forms. These core aspects cut across three longitudinal strands of school algebra: algebra as the study of structures and systems abstracted from computations and relations, algebra as the study of functions, relations and joint variation, and algebra as the application of a cluster of modelling languages.
In addition to the theories described above, a characterization of early algebraic thinking arises also from the varied range of algebraic thinking abilities being examined worldwide. Research in early algebra reveals three main areas of interest which correspond to three aspects that describe early algebraic thinking: (a) generalization and reasoning about covariation; (b) generalization of arithmetic properties; and (c) abilities which are exclusively related to algebraic syntax. The first two aspects have attracted the most attention from researchers, and engagement in tasks related to these two aspects does not require the use of algebraic notation (Kieran, 2004). However, a growing number of recent studies (e.g., Brizuela, Blanton, Sawrey, Newman-Owens, & Gardiner, 2015; Hewitt, 2012; Schliemann, Carraher, Goodrow, Caddle, & Porter, 2013) focus specifically on younger students’ ability to use, interpret or transform algebraic expressions or equations. Therefore, a coherent investigation of the nature of algebraic thinking should incorporate all three abovementioned aspects (a, b, c). Research findings for these three aspects are presented in the following sub-sections, each one of which is further divided into specific abilities that students are expected to develop.
Generalization and reasoning about covariation
Generalization of patterns-relations involving covarying quantities
A considerable number of studies (e.g., Blanton & Kaput, 2004; Brizuela et al., 2015; Lannin, 2005) highlight primary school students’ ability to provide ‘generalizations of patterns-relations involving covarying quantities’ in growing pattern tasks, in tasks with tables involving input/output values, and to express the correspondence relation between two variables (e.g., ‘y is 3 times x plus 2’). Blanton and Kaput (2004) found that even as early as kindergarten, children can think about how quantities co-vary (e.g., ‘every time we add one more dog we get two more eyes’) and as early as first grade can describe how quantities correspond. On the other hand, there is also evidence (e.g., Lannin, Barker, & Townsend, 2006) that even upper elementary school, and more specifically sixth-grade students, face difficulties when confronted with tasks of this nature. According to research results (e.g., Lannin, 2005; Radford, 2008), students can approach these tasks in different ways, through: (i) the arithmetic generalization/recursive strategy (e.g., Lannin, 2005; Radford, 2008), in which students focus on the constant difference between the terms and fail to provide a direct rule; (ii) the naive generalization, in which students employ the trial-and-error strategy until they find the rule that satisfies the data; and (iii) the algebraic generalization or explicit strategy (Lannin, 2005; Radford, 2008), which rests on the capability of grasping a commonality in the pattern and being able to use the commonality to provide a direct expression of any term in the sequence (Radford, 2008).
Radford (2008), in his study with eighth-graders, found that ‘students were already thinking algebraically when they were dealing with the production of a written message to express their generalization, despite the fact that they were not using the standard algebraic symbolism’ (p. 258). Similarly, the pilot studies we conducted (Chrysostomou, 2014) showed fifth- and sixth-grade students’ ability to express in words the correspondence rule but revealed their difficulty with expressing it using algebraic notation. These results indicate that there is a gap between students’ ability to express their generalizations using natural language and their ability to use algebraic notation. Even though there is interesting data provided by Brizuela et al. (2015), showing that first-grade students can learn to think in sophisticated ways about variable notation and use it for representing relations between covarying quantities, these promising findings can be attributed to the early introduction of the concept of variable and to students’ participation in appropriate classroom teaching experiments. In the present study, the ability to form and express generalizations regarding covarying quantities involves the detection of the general rule and the expression of this rule through any means (e.g., words, diagrams), since the generalization itself indicates algebraic thinking even if it is not expressed through algebraic notation (Kieran, 2004). For this reason, in the suggested model, the translation of the verbal or written expressions into algebraic symbols entails a different kind of ability (see subsection Modelling relations using algebraic symbols ), the nature of which is directly linked to the use of algebraic notation.
Finding corresponding values of variables and reasoning about covariation based on given rules
A number of studies (Blanton & Kaput, 2004; Swafford & Langrall, 2000) provide evidence regarding students’ ability to determine corresponding values of variables based on (already) given rules and relations (which are expressed either in words, symbols or graphs) and to reason about the given relation between the two covarying quantities. The substitution of values in function rules (provided either verbally or symbolically) is in line with a procedural understanding of the function (Sfard, 1995). Swafford and Langrall (2000) found that sixth-grade students faced difficulties in using algebraic formulas to solve problems and were not able to substitute values in these rules to identify corresponding values of the covarying quantities. However, Blanton and Kaput (2004) provide evidence that second-grade students were able to use the general rule which was expressed in natural language to predict other corresponding values of the covarying quantities. Similarly, in the present study this ability is examined through tasks which require substitution of values on rules expressed verbally (and in some cases accompanied by graphs), since the attention in this case focuses on students’ understanding of covariation and not on the interpretation of the letter as a variable (i.e., in algebraic formulas). Students’ interpretation of the letter as a variable refers to another ability, described in the subsection Modelling relations using algebraic symbols .
Generalization of arithmetic properties
Generalization of properties of operations
Building generalizations from arithmetic is taken by many educators and researchers as the primary entry in algebra (Kaput, 2008). In this sub-section we focus on research regarding generalization of properties of operations. The study conducted by Anthony and Walshaw (2002), with fourth- and eighth-grade students, indicated students’ lack of understanding regarding the properties of operations and their failure to reach correct generalizations regarding commutativity. On the other hand, other studies which involved teaching experiments (e.g., Bastable & Schifter, 2008; Carpenter et al., 2003) provide evidence of second- to sixth-grade students’ ability to express generalizations and build convincing arguments regarding properties of operations. According to Blanton, Levi, Crites, and Dougherty (2011), an algebraic understanding of the fundamental properties of operations includes understanding that these properties represent generalizations that apply to all real numbers and the ability to identify their use explicitly in computations. Tasks of this type are used in the present study to examine students’ ability to express generalizations about properties of operations,
Generalization of properties of numbers
Another type of generalization derived from arithmetic properties is a generalization about a class or classes of numbers (Blanton et al., 2011). In this direction, a number of studies (e.g., Bastable & Schifter, 2008; Carpenter et al., 2003) provide evidence of primary students’ ability to build generalizations about classes of numbers, like ‘An odd number plus an odd number is an even number’. As Bastable and Schifter (2008) point out, students tend to express these generalizations through natural language or diagrams, instead of using algebraic symbols. In the present study, the ability to build generalizations and provide justifications regarding the properties of numbers refers to the expression of these generalizations and justifications through any means available to students (i.e., natural language, diagrams). Carpenter et al. (2003) describe the forms of arguments that elementary students use to justify these generalisations: (a) appeal to authority; (b) justification by example, where they use numerical examples to test the conjectures; and (c) generalizable arguments, where students present a logical argument (verbal, symbolic or concrete) that applies to all cases. Research suggests that children’s justifications will often use simple empirical arguments based on testing a number of specific cases (Blanton et al., 2011).
Generalization of properties of equality
As previously mentioned, generalized arithmetic implies the construction of generalizations through numerical relationships and arithmetic operations and their properties but also includes the notion of equivalence along with the properties of equality (Mestre & Oliveira, 2012). Several studies provide evidence of students’ reasoning and generalizations about the properties of equality (e.g., Blanton et al., 2011) and their interpretations of the equal sign (e.g., Matthews, Rittle-Johnson, McEldoon, & Taylor, 2012). Research results with second- to sixth-grade students indicated that children who showed maximum mastery for generating a relational definition of the equal sign (i.e., sameness of the expressions or quantities represented on each side of an equality or equation) were more likely than other students to succeed on items asking them to provide an explanation using explicit properties of equality (Matthews et al., 2012). However, children tend to interpret the equal sign as an operator sign that means ‘gets the answer’ as a result from their previous experiences (e.g., Matthews et al., 2012). Blanton et al. (2018) found that even prior to formal instruction, kindergarten children hold an operational view of the equal sign that can persist throughout instruction. In order to help students to overcome their difficulties, attention should be given to the tasks given to students. Students’ ability to reason and to provide explanations involving properties of equality can be developed through tasks which require reasoning about relationships between amounts and not through tasks that prompt students to compute (Blanton et al., 2011). In the present study, the ability to reason about properties of equality is examined through the abovementioned type of tasks.
Abilities exclusively related to algebraic syntax
Finding the value of the unknown
The ability to solve equations is a basic component of algebraic thinking (Cai et al., 2011). A number of studies examine and describe young students’ ability and strategies to solve equations (e.g., Blanton et al., 2011; Brizuela & Schliemann, 2004; Rojano, 1996). In Brizuela and Schliemann (2004), fourth-grade students adopted mainly informal strategies to solve equations with the unknown on both sides of the equal sign and only a few students used the method of matching up equivalent terms on both sides of the equal sign to simplify the equation. However, the adoption of informal strategies (e.g., guess and check, unwind method) for solving algebraic equations in earlier grades can be viewed as a way in which students make sense of algebraic situations (Rojano, 1996; Sfard & Linchevski, 1994). According to Rojano (1996), ‘trial and error, together with other strategies considered informal and found in students’ first experiences with algebra, are indeed a real foundation upon which the methods or strategies of algebraic thought are constructed’ (p. 137). Therefore, in the present study the ability to find the value of the unknown is examined through equations with the unknown either on one side or on both sides of the equal sign in which students could adopt their preferred strategy to solve the task.
Modelling relations using algebraic symbols
According to Blanton and Kaput (2004), ‘One particularly vital aspect of early algebra is the transition from natural language to symbolic notational systems’ (p. 12). Children should be able to model relations using algebraic symbols (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000). Therefore, the inclusion also of this ability in the theoretical model of the present study is deemed necessary, and the examination of students’ ability to model relations using algebraic symbols is examined through tasks which required translation of verbal/written expressions into algebraic equations, algebraic expressions and algebraic formulas, or vice versa. A number of studies (e.g., Brizuela et al., 2015; Schliemann et al., 2013) provide evidence that students in earlier grades (even from first grade) are able to translate word problems and mathematical situations using algebraic symbols and to use variable notation to represent relationships between covarying quantities. On the other hand, according to Van Amerom (2003), there is evidence of students’ (of all ages) difficulties in modelling mathematical situations through algebraic symbols. Children tend to translate written or verbal situations using algebraic symbols simply moving from left to right (e.g., ‘Three less than a number’ is translated as ‘3 − x’). The contradiction of these results might be attributed to the different ages at which students were introduced to algebraic notation and to the type of instruction they were exposed to.
Simplification of algebraic expressions
Less emphasis in the earlier grades has been given to students’ ability to operate on and simplify algebraic expressions and equations. Even though there is general agreement that early algebra plays an important role in primary school mathematics curricula, the question of whether primary school students are ready and able to use algebraic syntax and follow syntactic rules remains open (Schliemann et al., 2013). However, the examination of this ability should not be excluded from a comprehensive model regarding the nature of algebraic thinking. For this reason, in order to examine younger students’ ability to operate on the unknown, simplification of algebraic expressions tasks are used. Research studies with older students have shown that children usually have difficulty accepting an algebraic expression as an answer; they see an answer as a specific number, a numerical product of a computational operation. Collis (1974) described this as children struggling with a lack of closure. On the other hand, a few more recent studies (e.g., Hewitt, 2012; Schliemann et al., 2013) provide evidence that given appropriate instruction, younger students (third- to fifth-graders) are able to operate on algebraic symbols and simplify algebraic expressions.
The diverse nature of the abovementioned abilities, which are directly related to the use of algebraic syntax, is highlighted by Kieran (1991). More specifically, Kieran (1991) refers to procedural and structural algebra. The procedural perspective of algebra refers to arithmetical operations, as in finding the value of the unknown in an equation like 2x + 3 = 7 through substitution of different values for x. The objects that someone operates on are numerical examples and not algebraic expressions (Kieran, 1991). The structural perspective of algebra involves, for example, the simplification of algebraic expressions, and therefore the objects on which someone operates are algebraic expressions.
From the historical development of algebra to the levels of sophistication of learners’ thinking regarding algebraic concepts
In many history texts, algebra is considered to have three stages in its historical development: the rhetorical stage, the syncopated stage and the symbolic stage (Katz & Barton, 2007). Rhetorical algebra refers to the stage when algebra was written in words without the use of mathematical symbols, and there is an emphasis on arithmetical procedures (Sfard, 1995). The second stage, syncopated algebra, was characterized by the use of some abbreviations for the frequently recurring quantities and operations, and attention is given to discovering the values of the algebraic symbols and not on their use for representing generalizations (Sfard, 1995). In the symbolic stage, all numbers, operations and relationships are expressed through a set of easily recognized symbols, and manipulations on the symbols takes place according to certain rules (Katz & Barton, 2007).
The historical development of algebra emphasizes the distinction between the representation of an unknown in equations and the use of algebraic symbols for the expression of generalizations (Sfard & Linchevski, 1994). Several researchers argue that students’ difficulties with the concept of variable emerge due to the different interpretations and uses of variables in algebra (Küchemann, 1978; Oldenburg, 2012). Küchemann’s (1978) study refers to six levels of interpretation of algebraic symbols. The first three lower levels (first: letter evaluated; second: letter ignored; and third: letter as an object or a name for an object) refer to students’ misconceptions (Oldenburg, 2012). At the fourth, fifth and sixth levels, the letter can be interpreted as a specific unknown (e.g., in x + 5 = 14), as a generalized number (e.g., in a + b = b + a) and as a variable (e.g., y = x + 5), respectively (Küchemann, 1978). Therefore, the historical analysis regarding the development of algebra through the centuries also reflects the cognitive development of algebraic thinking of individual learners (Lian & Yew, 2012). It can be seen as a cycle of procedural-structural development in which what is conceived operationally (procedurally) at one level must be perceived structurally at a higher level. The progression from an operational view to a structural view is evident also in Matthews et al.’s (2012) study regarding the development of students’ understanding about the equal sign. This development starts from the operational view of the equal sign (‘gets the answer’, e.g., 4 + 25 = 29) and the operational view in atypical equations (‘defines what appears on the left side of the equal sign’, e.g., a = 5 + 4, y = 5x + 4) and proceeds to the relational view of the equal sign (as a relational symbol expressing equivalence) (Matthews et al., 2012).
Looking towards a more comprehensive description of the development of learners’ algebraic thinking, Godino et al. (2015) propose based on certain criteria the following levels for primary education: (a) Level 0 refers to the absence of proper algebraic reasoning; (b) Level 1 involves the detection of general entities which are expressed only through ordinary or arithmetic language, and the use of algebraic equality (equivalence); (c) Level 2 refers to the use of alphanumeric language but no operations on variables are carried out; and (d) Level 3, which indicates a consolidated level of algebraic thinking and operations with indeterminate quantities or variables are carried out. This transition from the use of ordinary or arithmetic language to the use of algebraic symbols for representing relations, and then to the operations on algebraic symbols, has some similarities to the historical development of algebra. However, these similarities should be explored further based on students’ performance and behaviour on the multiple dimensions of algebraic thinking.
Methodology
Sample and procedure
The participants were 803 students, 10–13 years old, from seven elementary schools and three middle schools in Cyprus. The selection of schools was based on the convenience sampling technique. The sample consisted of 237 primary school fifth-grade students, 280 primary school sixth-grade students and 286 middle school seventh-grade students. Prior to the present study, fifth- and sixth-grade primary school students had a few experiences with algebraic thinking activities that were included in their mathematics textbooks regarding: (a) pattern generalization involving covarying quantities; (b) generalized arithmetic involving odd and even numbers; (c) finding the value of the unknown in simple algebraic equations without operations on algebraic symbols; (d) translation of verbal expressions into algebraic expressions; (e) reasoning about properties of operations; (f) reasoning about properties of equality in balance models; and (g) interpretation of line graphs. On the other hand, seventh-grade students had a few more experiences in regards to the abovementioned concepts, and they had received formal instruction about operations on algebraic symbols for simplifying algebraic expressions and solving algebraic equations. An algebraic thinking test was administered to students, and after the completion of the tests, 101 students participated in semi-structured clinical interviews.
Algebraic thinking test
Examples of items of the algebraic thinking test.
Data coding for the algebraic thinking test
For the data coding of the algebraic thinking test, two different procedures were adopted according to the type of task. Due to space limitations and the extended number of tasks of the test, the two procedures are described briefly. First, in tasks or in sub-questions of tasks in which no explanation of the answer was required (e.g., sub-questions 1 (a), (b) and (c) in ‘generalization of patterns, relations’ in Table 1), one mark was given to each correct response and zero marks to each incorrect response. Second, tasks or sub-questions of tasks in which descriptions or explanations were required (e.g., sub-questions (d) and (e) of the ‘matches pattern generalization task’ in Table 1), partial credit was given according to the types of answers provided. For example, in pattern generalization sub-questions in which students were asked to find and describe the general rule, one mark was given for the correct correspondence relation, 0.5 for the correct covariational approach and zero marks for incorrect answers. Also, a correct answer in pattern generalization sub-questions in which the next terms (e.g., fifth or sixth term) of a pattern were required (e.g., sub-questions 1 (a), (b) and (c) in ‘generalization of patterns, relations’ in Table 1) in combination with incorrect answers in the sub-questions that required the correspondence relation (e.g., sub-questions (d) and (e) of the ‘matches pattern generalization task’ in Table 1), reveal that the student most probably adopted a recursive strategy. The examination of their solutions (in which they wrote the constant difference of the terms of one variable) confirmed the above hypothesis. According to the abovementioned information, students’ approach or strategy in generalization tasks determined their score in those tasks (based on which the quantitative analyses including students’ grouping were carried out). Similarly, in generalized arithmetic tasks the type of justification students provided (i.e., use of arithmetical examples or generalizable arguments), determined their score in those tasks. Regarding students’ interpretations about the concept of variable, their score in tasks which involved algebraic syntax (1 mark for correct answers, 0 marks for incorrect answers), indicated whether they were able or not to interpret the letter as an unknown, as a generalized number and as a variable, according to the context in which the letter was involved. Further information regarding students’ misconceptions about the concept of variable, the way in which students found the correspondence relation (i.e., trial and error or algebraic generalization), their perception of whether the use of arithmetical examples indicated a sufficient justification and their strategies in finding the value of the unknown tasks were explored in more detail during the interviews.
Data analysis for the algebraic thinking test
The reliability coefficient for the algebraic thinking test items was Cronbach’s Alpha = .91, which is considered excellent. For the first aim of the study, regarding the examination of the structure of algebraic thinking, a confirmatory factor analysis (CFA) was conducted using the statistical modelling software MPLUS (Muthén & Muthén, 2007). For the third aim of the study, regarding the examination of the existence of a specific developmental trend, the same software (MPLUS) was used for the application of the structural equation model analysis. Goodness of fit for the models was examined based on three fit indices. The values for CFI should be higher than .95, the root mean-square error of approximation (RMSEA) values should be lower than .05, and the observed values for χ2/df should be less than 2, to support model fit (Marcoulides & Schumacker, 1996). For the second aim of the study, regarding the investigation of students’ different algebraic thinking profiles, latent class analysis was conducted to examine whether there were different groups of students who varied according to their ability to think algebraically. This analysis provides fit indices to evaluate the possibility of grouping the subjects into a different number of groups: (a) the Entropy index, where higher entropy values reflect better classification of individuals; and (b) the AIC index and BIC index, which need to have the lowest value.
Interviews
For a better description of students’ algebraic thinking profiles, semi-structured clinical interviews were carried out with 25–26 students from each algebraic thinking group. The selection of students participating in the interviews was based on the purposeful sampling technique for the identification and selection of information-rich cases from which one can learn a great deal about issues of central importance to the purpose of the inquiry (Patton, 2002). Each interview was sound-recorded and lasted from 25–40 minutes, and each student was asked to solve eight algebraic thinking tasks which involved similar situations to the those involved in the algebraic thinking test (described previously). During the interviews, students were asked to express their thinking while they were trying to solve the algebraic thinking tasks (1, 2, 3, 4a, 4b, 5, 6, 7), each one of which corresponded to one of the eight algebraic thinking abilities. Task 4 included two distinct parts/questions (4a, 4b), each one focusing on a different algebraic thinking ability; however, both questions involved the same context/story. The interviewer asked all participants certain predetermined questions in each algebraic thinking task, while further questions arose spontaneously according to the answers provided by the student and to the misconceptions or difficulties that the student faced during the procedure.
The mixed method research design that was adopted in this study used qualitative data gathered from the interviews to explore quantitative findings. More specifically, the qualitative phase builds directly on the results from the quantitative phase, so that the quantitative results are explained in more detail through the qualitative data (Creswell & Plano Clark, 2007). For this reason, the tasks used during the interviews were very similar to those involved in the test. The data gathered from the interviews provided further information regarding students’ thinking, strategies and difficulties and contributed to a more detailed description of the different algebraic thinking profiles.
During the analysis of the interview data, certain codes were developed regarding: (a) the approach students adopted in the generalization tasks which involved covarying quantities (c1: recursive strategy, c2: covariational approach, c3: correspondence relation); (b) the type of justification they provided in the generalized arithmetic tasks (c4: use of one arithmetic example, c5: use of several arithmetic examples, c6: generalizable arguments, c7: acknowledgment that the use of arithmetical examples is not sufficient); (c) their interpretation of the concept of variable in tasks where algebraic syntax was involved (c8: letter as a specific unknown, c9: letter as a generalized number, c10: letter as a variable); (d) their misconceptions about the concept of variable (c11: letter evaluated, c12: letter ignored, c13: letter as a name for an object); (e) their interpretation of the equal sign (c14: as gets the answer, c15: defines what appears on the left side of the equal sign, c16: relational view of the equal sign); (f) the strategy they adopted to find the value of the unknown in equations with the unknown on one side or on both sides of the equal sign (c17: trial and error and substitution of values, c18: by cancelling or adding the same quantities on both sides of the equation); and (g) the way in which they found the correspondence relation between the covarying quantities (c19: trial and error until they ‘discover’ the rule, c20: algebraic generalization based on the interpretation of picture of the pattern). The identification of patterns/similarities regarding the strategies, approaches, justifications and misconceptions presented by students who participated in the interviews of each algebraic thinking group/class (which occurred from the latent class analysis) was based on the frequency of occurrence of incidents (described by the abovementioned codes) in the attempts of each class/group to solve the tasks.
Results
Structure of algebraic thinking
In order to investigate the structure of algebraic thinking, the validity of a theoretical model, which suggests that algebraic thinking consists of three aspects (second-order factors), was tested: (a) ‘generalization and reasoning about covariation’; (b) ‘generalization of arithmetic properties’; and (c) ‘abilities exclusively related to algebraic syntax’ (see Figure 1). Further, according to the model, the first aspect is composed of the following abilities (first-order factors): ‘generalization of patterns-relations involving covarying quantities’ (Gc) and ‘finding corresponding values of variables and reasoning about covariation based on given rules’ (Rc). The second aspect is composed of the abilities (first-order factors): ‘generalization of properties of operations’ (Go), ‘generalization of properties of numbers’ (Gn) and ‘generalization of properties of equality’ (Ge). Lastly, the third aspect is composed of the abilities: ‘finding the value of the unknown’ (Vu), ‘modelling relations using algebraic symbols’ (Mo) and ‘simplification of algebraic expressions’ (Sm) (see Figure 1). Thus, the model consists of a total of eight first-order factors. The model of algebraic thinking.
The results of the confirmatory factor analysis showed that the research data fitted the theoretical model very well (CFI = .996, TLI = .995, 
Classes of students according to their performance on the algebraic thinking test
Fit indices for models with different numbers of classes.
Percentages of students in the four classes.
Means and standard deviations of performance in the eight algebraic thinking abilities for all classes.
The presence of a pattern in the performance of students in each class (see Table 4) regarding the difficulty level of the algebraic thinking abilities (eight first-order factors) within each aspect of algebraic thinking (three second-order factors), in combination with the development of algebra concepts presented in the literature, supports the hypothesis of the existence of a specific developmental trend. More specifically, to investigate this hypothesis, a model was tested according to which: (a) performance in ‘finding the value of the unknown’ can predict performance in ‘modelling relations using algebraic symbols’, and performance in ‘modelling relations using algebraic symbols’ can predict performance in ‘simplifying algebraic expressions’; (b) performance in ‘generalizing properties of equality’ can predict ‘performance in generalizing properties of operations’, and performance in ‘generalizing properties of operations’ can predict ‘performance in generalizing properties of numbers’; and (c) performance in ‘finding corresponding values of variables based on given rules and reasoning about covariation’ can predict performance in ‘generalizing patterns-relations involving covarying quantities’. The results of the structural equation model analysis showed that the research data fitted the theoretical model very well (CFI = .996, TLI = .995, x
2 = 326.068, df = 295, x
2/df = 1.105, RMSEA = .011). The regression coefficients of the model were statistically significant and high (see Figure 2). Relations among the algebraic thinking abilities.
Based on this model, it appears that students: (a) first acquire the ability of ‘finding the value of the unknown’, followed by the ability to ‘model relations using algebraic symbols’ and then the ability to ‘simplify algebraic expressions’; (b) first acquire the ability to ‘generalize properties of equality’, followed by the ability to ‘generalize properties of operations’ and then the ability to ‘generalize properties of numbers’; and (c) first acquire the ability to ‘find corresponding values of variables and reason about covariation based on given rules’, followed by the ability to ‘generalize patterns-relations involving covarying quantities’.
Characteristics and behaviour of the four classes of students
The mean score of performance in each item of the eight algebraic thinking abilities, the types of strategies adopted, the types of justifications used, as well as students’ difficulties and misconceptions were examined for the four classes of students. First, a synopsis of the characteristics of the four classes of students is presented in Figure 3. In the following sub-sections, a detailed description of the performance and behaviour of each class of students, based both on the quantitative results and on the qualitative data from the interviews, is presented. The description of the performance and behaviour of each class presented below is organized in three dimensions that focus on: (a) which items students of each class showed high achievement; (b) the strategies and the justifications students of each class used in ‘generalization of arithmetic properties’ tasks and in ‘reasoning about covariation’ tasks, providing information regarding the generality of their solutions and; (c) the interpretations, difficulties and strategies students of each class showed in tasks regarding ‘abilities exclusively related to algebraic syntax’ tasks, providing information about their actions in conventional algebraic notation contexts. What must be noted is that the descriptions for each class presented below include the common performance and behaviour of the students belonging in that class (based on the latent class analysis), whether they were attending fifth, sixth or seventh grade. The characteristics of performance and behaviour within each class did not seem to vary in accordance to grade level (fifth, sixth, seventh). Synopsis of the characteristics of the four classes of students regarding their algebraic thinking abilities.
Class 1 students’ performance and behaviour
Class 1 students showed low achievement in all algebraic thinking items except for two items. Specifically, they had high performance in the item in which students were asked to find the value of the unknown in two simple equations that involved addition (e.g., if d + d + d = 15 then d = __) and the answer could be found without the use of inverse operations. Nevertheless, they had low performance in all the other equation-solving items. They also showed high performance in the item where students were asked to create a linear graph based on a table of values for two covarying quantities. However, they were not able to match the correct linear graph to a real-life scenario in another item of the same ability (‘finding corresponding values of variables and reasoning about covariation based on given rules’) and showed low performance in all the other items of this ability.
Class 1 students were unsuccessful in generating generalizations. They adopted only recursive-arithmetical strategies (Radford, 2008) for the identification of the next terms of a pattern (e.g., fourth or fifth term), and they were not successful in generalized arithmetic items, indicating that they lacked conceptual understanding regarding properties of operations and properties of numbers. In generalized arithmetic tasks, Class 1 students faced difficulties, and even when they provided an answer, their work was based on a certain arithmetical example and not on generalizable arguments. Their answers also indicated that their understanding of the equal sign was restricted to the meaning ‘gets the answer’ and they were unsuccessful in ‘generalization of properties of equality’ tasks which required a relational understanding of the equal sign (Matthews et al., 2012).
In ‘modelling relations using algebraic symbols’ and in ‘simplification of algebraic expressions’ tasks, Class 1 students provided numbers as answers instead of algebraic expressions. Class 1 students were not able to interpret the algebraic symbol in situations where it should be interpreted as a generalized number or as a variable, and they provided only slight evidence of interpreting the variable as an unknown number (Küchemann, 1978) in simple equations.
Class 2 students’ performance and behaviour
Class 2 students had high performance in the same two items in which Class 1 students were successful; however, they showed high performance in the following five types of items in which: (a) generalization of the relation of two covarying quantities presented in a table with input/output values should be expressed in words (Gc task); (b) the value of the unknown should be found in equations with the unknown appearing as the first term on the left side of the equation and subtraction or division were involved (Vu task); (c) filling missing gaps was required based on the transitive property of equality and inequality (Ge task); (d) filling in the missing gaps in equations was required using the additive and multiplicative inverse (Go task); and (e) interpretation of a linear graph which represented the relation between two covarying quantities should be provided (Rc task). The common characteristic of these items was the fact that they could be solved or approached by carrying out calculations, by using or mentioning specific cases or arithmetical examples or by using informal strategies (e.g., trial and error). Even though their attempts in a few tasks resulted in generalizations, or revealed their ability to solve equations, or indicated some reasoning about covariation, these actions were based on computations with numbers and on trials with numbers; therefore, the objects on which they operated were numbers and the basic behaviour was procedural.
More specifically, regarding their strategies and approaches, in generalization of relations-patterns items, Class 2 students were able to find the correspondence relation between the two variables in the item with input/output values using a similar approach to ‘trial and error’ and faced difficulties in the two items which involved geometrical growing patterns. In geometrical pattern tasks, most of the Class 2 students adopted the recursive strategy to find only the next terms of the pattern (e.g., fourth or fifth or sixth term). Similarly, in items involving generalization of properties of numbers and properties of operations, even when Class 2 students provided an answer (either correct or incorrect), their justification was based on certain arithmetical examples and they could not provide generalizable arguments. Regarding the item which involved reasoning about the additive and multiplicative inverse, students’ generalizations were based on several trials with numbers. Also, Class 2 students were not able to reason about properties of equality in items where a relational understanding of the equal sign was required. However, their success on one of the items of this ability regarding properties of equality (e.g., if Α = Β and Β = C, then Α__C) was based on the fact that they wrote numbers (specific examples) over the algebraic symbols to help them answer the question. In the ability ‘finding corresponding values of variables reasoning about covariation based on given rules’, their success (high performance) was restricted only to the two items which involved graphs (construction of a graph and interpretation of a graph) and not to the other two items of this ability in which conclusions and further reasoning about the covariation were required.
Class 2 students provided even more evidence than Class 1 students of their understanding of the algebraic symbol as an unknown number. Also, it was evident from their explanations that they adopted mainly the ‘trial and error’ strategy or a strategy similar to ‘working backwords’ to solve the equation which involved division (
Class 3 students’ performance and behaviour
Class 3 students had a high performance in all the tasks in which Class 2 students succeeded, and also showed high performance in the following items in which: (a) reasoning about properties of equality was required and a relational view of the equal sign was necessary (Ge task); (b) modelling relations using algebraic symbols was required and students should provide algebraic expressions, algebraic equations and algebraic rules regarding the relation between covarying quantities (Mo tasks); (c) generalization of a geometrical growing pattern should be expressed in words (Gc task); (d) the value of the unknown should be found in an equation with the unknown being on both sides of the equation (Vu task); and (e) reasoning about the relation between two covarying quantities was required based on the rule that was given (Rc task).
Students of this class, in contrast to Class 2 students, did not rely only on computations with numbers or on the use of informal strategies (like trial and error), and focused more on detecting and reflecting on relations. The majority of students explained that they found the general rule for the pattern with input/output values on a table ‘instantly’ by focusing on the relation between corresponding values (and only a few students mentioned an approach similar to trial and error). In the geometrical pattern task with general rule ‘2n + 1’, almost all the Class 3 students explained the way in which they found the relation based on the visual representation of the pattern and did not rely on a trial and error strategy. However, in the geometrical pattern task with rule ‘3n + 1’ item (see Table 1), which required transferring this generalization to a similar context, Class 3 students faced difficulties. Most Class 3 students could not find the 100th term, could not describe in words the general rule of the pattern and therefore could not transfer the generalization to a similar situation. Some of the Class 3 students, due to the difficulties they faced in analysing the visual representation of the pattern, shifted to a recursive strategy which enabled them to find only the next terms of the pattern (e.g., fourth or fifth). Regarding the ability ‘finding corresponding values of variables and reasoning about covariation based on given rules’, Class 3 students indicated high performance in three of the four items in this ability, except for the item in which a comparison of two different rules was required (see Table 1). In the items about generalization of properties of numbers and of properties of operations, students in this class provided the correct answers; however, they could not justify their answers through generalizable arguments and used arithmetical examples. Their work, which included several arithmetical examples and their thinking during the interviews, indicated that many Class 3 students acknowledged that the arithmetical examples were not sufficient; however, they could not provide generalizable arguments as justifications. The majority of Class 3 students were able to provide appropriate justifications in items that involved generalization of properties of equality, making explicit reference to properties of equality.
Class 3 students’ work provided more evidence (than previous classes) that they interpreted the algebraic symbol as an unknown. Their strategies on items which required finding the value of the unknown differed from the strategies Class 2 students adopted. Most of the Class 3 students did not adopt a trial-and-error strategy to find the value of the unknown in equations 
Class 4 students’ performance and behaviour
Class 4 students showed high performance in all algebraic thinking abilities, and their main difference from the previous classes of students lies in their enhanced ability to focus on the structure of situations and on the fact that they were able to operate on algebraic symbols. Their behaviours indicated a greater level of abstraction. The difference between Class 3 and Class 4 students lies mainly in the fact that Class 4 students: (a) were successful in tasks where simplification of algebraic expressions was required; (b) showed high performance in items that involved justification of properties of operations and numbers, thus showing conceptual understanding regarding the properties of operations and numbers; (c) provided more evidence than the students in other classes about being familiar with algebraic syntax; and (d) had higher performance in the most difficult items of each algebraic thinking ability, in which students of other classes were not successful.
The approaches and the strategies that Class 4 students adopted highlighted their ability to focus and detect structure. For example, Class 4 students managed to generalize the most difficult pattern of the test with general rule 3n + 1 (see Table 1); most of them approached and solved the pattern through algebraic generalization (Radford, 2008) and were able to transfer this generalization to a new similar context. Regarding the ability of ‘finding corresponding values of variables and reasoning about covariation based on given rules’, Class 4 students were the only ones who indicated high performance in the item in which comparison of two different rules was required (see Table 1) and were able to explain their answer. Students in this class showed high performance in all items related to generalization of properties of operations and properties of numbers and most of the students provided generalizable arguments as justifications (Carpenter et al., 2003), indicating conceptual understanding of properties of operations and numbers. Also, students in this class showed high performance (as did Class 3 students) in all items about generalization of properties of equality and provided generalizable arguments as justifications regarding the properties of equality.
Regarding the ability of ‘finding the value of the unknown’, Class 4 students showed high performance in all the tasks, including the item with the inequality, and provided appropriate explanations, indicating that their understanding was not restricted to the case of equations. In the equation 
Discussion
The results of the study suggest that algebraic thinking can be described through three aspects: reasoning about covariation, generalization of arithmetic properties and abilities directly related to algebraic syntax, each one of which is composed of specific abilities (as described in detail in the Results section). The first two aspects, reasoning about covariation and generalization of arithmetic properties, are in line with the conception that students can express their generalizations though any means. This conception downplays the use of algebraic syntax in favour of the deliberate expression of generalizations through whatever means are available to the student, especially natural language or drawings (Kaput, 2008). However, in the third aspect of the suggested model which refers to ‘abilities directly related to algebraic syntax’, the presence and the use of algebraic notation are necessary. This third aspect is in line with the conception that treats rule-based actions on symbols as the hallmark of algebraic thinking, whether or not these actions serve generalization or modelling (Kaput, 2008). The results of the present study regarding the components of algebraic thinking indicate that the suggested model takes into consideration both conceptions and also confirms the multifaceted nature of algebraic thinking based on empirical data. The multifaceted nature of early algebraic thinking stresses the importance of providing elementary school students with a variety of activities that refer to the different dimensions of algebraic thinking and emphasizes the need for further investigation of whether such an approach facilitates the development of algebraic thinking.
The results confirmed also the presence of a consistent trend in the difficulty level across the algebraic thinking abilities (first-order factors) within each aspect of algebraic thinking (second-order factors) and suggest a specific developmental trend. More specifically, the results show that abilities which are in line with a more procedural perspective of algebraic thinking (e.g., finding the value of the unknown, finding corresponding values of variables based on given rules) emerge first, whereas the abilities that relate to a more structural perspective of algebraic thinking (e.g., simplification of algebraic expressions, generalization of patterns-relations involving covarying quantities) are more difficult for students and emerge later. It also seems that from the ‘generalization of properties of equality’, which relates to a more procedural perspective of algebraic thinking (e.g., ‘I add the same quantity on both sides of the equation to maintain the equality’) and emerges first, we move towards the ‘generalization of properties of numbers’, which relates to a more structural perspective of algebraic thinking and where reasoning about the structure of numbers is required. Therefore, according to these results there is evidence that the development of algebraic thinking and of the concepts related to these abilities are in line, first, with the two perspectives of algebra proposed by Kieran (1991) (procedural and structural algebra) and with Sfard’s (1995) theory, according to which procedural aspects occur first and structural aspects develop later.
The results are also in line with the historical development of algebra, since recognizing the unknown and ‘finding the value of the unknown’ emerges first and relates more to the syncopated stage of algebra. The ability that emerges after is the one regarding ‘modelling relations through algebraic symbols’, which relates to symbolic algebra, and then comes the ability of ‘simplifying algebraic expressions’, which also relates to the symbolic algebra stage. The ability of ‘modelling relations through algebraic symbols’ emerges before the ability of ‘simplifying algebraic expressions’, probably due to the fact that in the first case algebraic expressions and equations are still connected to a context, either verbal or pictorial (Radford & Puig, 2007). On the other hand, simplifying algebraic expressions and transforming algebraic expressions and equations is more difficult, since in this case algebraic symbols must be conceived as objects with no context (Radford & Puig, 2007).
Based on the results for the multiple dimensions of algebraic thinking and on a synthesis of theories and previous research results, the present study described four groups of different algebraic thinking profiles, with the purpose of tracing and characterizing the development of early algebraic thinking. Class 1 students indicated low achievement in all algebraic thinking abilities, with no evidence of generalization ability, and used calculations with numbers to find only the next term of a pattern and the unknown in simple equations; thus, their behaviour was named ‘pre-algebraic’. The behaviour of Class 1 students aligns with Level 0 proposed by Godino et al. (2015). Class 2 students adopted mainly informal strategies (e.g., trial and error) even in generalization tasks, and were successful in tasks that allowed procedural approaches and involved only the operational conception of the equal sign; thus, their behaviour was named ‘proto-algebraic-procedural’. The behaviour of Class 2 students has similarities with the proto-algebraic Level 1 proposed by Godino et al. (2015); however, their descriptions about Level 1 include also the notion of equivalence and relational thinking which were not evident in Class 2 behaviour in the present study. Class 3 students were able to model relations through algebraic symbols and to reason about equalities and equations relationally, and focused more on detecting and reflecting on relations; thus, their behaviour was named ‘relational-symbolic algebraic thinking’. The behaviour of Class 3 students indicates similarities (i.e., the use of algebraic notation for representing relations) with some characteristics of the proto-algebraic Level 2 described by Godino et al. (2015). Class 4 students showed high performance in all aspects of algebraic thinking — they were able to focus on the structure of the situations and to simplify algebraic expressions; thus, their behaviour was named ‘structural-global algebraic thinking’. Class 4 students’ behaviour aligns with the consolidated level of algebraic thinking (Level 3) proposed by Godino et al. (2015).
The detailed descriptions of the four algebraic thinking profiles of the present study can offer educators a means for classifying students’ behaviour, identifying their difficulties and selecting appropriate early algebra activities to help them overcome these difficulties. However, taking into consideration that in the present study no longitudinal measurements of students’ algebraic thinking were obtained, future studies should focus on studying the developmental models of students’ algebraic thinking and investigate the way in which students progress from one level of development to the next. Recent studies presented in Blanton, Brizuela, et al. (2018), focusing on long-term development and assessment of young children’s algebraic thinking, show that provided the appropriate instruction, children are capable of engaging successfully with a broad and diverse set of big algebraic ideas. Future research could focus on the investigation of the impact early algebra interventions might have on students of different algebraic thinking levels or profiles and on which types of interventions are more suitable for students of lower algebraic thinking levels.
Un análisis del concepto de pensamiento algebraico basado en evidencia empírica
En los últimos años se ha observado un interés creciente por el pensamiento algebraico de los estudiantes más jóvenes (es decir, el álgebra temprana), interés que se refleja en múltiples estudios de investigación y en diversos documentos normativos influyentes. En varios estudios (e.g., Blanton et al., 2018; Carpenter, Franke, & Levi, 2003) se ofrece evidencia de que los escolares de primaria son capaces de participar en ejercicios sofisticados de pensamiento algebraico — con generalizaciones, representaciones, justificaciones y razonamientos con estructura y relaciones matemáticas — en un amplio abanico de áreas temáticas que incluyen álgebra general, conceptos relacionados con la equivalencia, expresiones, ecuaciones y desigualdades, así como pensamiento funcional. (Blanton, Brizuela, et al. (2018), p. 46; traducción propia)
La mayor parte de los estudios realizados sobre el álgebra temprana se centraron en la investigación de ciertos aspectos o dimensiones del pensamiento algebraico. Según Carraher y Schliemann (2007), relativamente pocos estudios han tratado de caracterizar el campo de una manera exhaustiva. Existen dos descripciones muy conocidas del pensamiento algebraico, la primera propuesta por Kaput (2008) y la otra por Kieran (2004), que ofrecen una visión completa del pensamiento algebraico. Aunque ya se ha visto que el aprendizaje del álgebra y del pensamiento algebraico es una tarea compleja que integra múltiples componentes, lo que parece faltar es un conocimiento profundo de cómo se combinan todos estos componentes y cómo se relacionan, no solo en teoría sino en el comportamiento observable de los alumnos (Oldenburg, 2012) y en particular, de los estudiantes más jóvenes. Según Kieran (2011), las diversas maneras en que se puede adaptar su modelo en la enseñanza y el aprendizaje del álgebra temprana están todavía por articular. Un análisis más profundo de la estructura del pensamiento algebraico basado en datos empíricos con estudiantes de primaria puede ayudarnos a ampliar nuestro conocimiento del pensamiento algebraico de los estudiantes más jóvenes.
Asimismo, algunos investigadores (e.g., Cai, Moyer, Wang, & Nie, 2011; Lian & Yew, 2012) destacan la necesidad de un modelo general que caracterice el desarrollo del pensamiento algebraico de los estudiantes y describa sus distintos niveles. En algunos estudios (e.g., Lian & Yew, 2012) se adoptó la taxonomía SOLO (por su nombre inglés, Structure of Observed Learning Outcome) o ‘Estructura del resultado de aprendizaje observado’ (Biggs & Collis, 1982) para caracterizar el desarrollo de la capacidad de los estudiantes en la generalización de patrones y en la resolución de ecuaciones. A pesar de que estos estudios (e.g., Lian & Yew, 2012) arrojan datos importantes respecto al pensamiento algebraico de los estudiantes, sus descripciones incluyen distintos niveles de aptitud en relación con ciertos aspectos o dimensiones de este tipo de razonamiento (por ejemplo, la resolución de ecuaciones o la generalización de patrones). Godino et al. (2015) protagonizaron una propuesta reciente para la caracterización del desarrollo del pensamiento algebraico. En particular, Godino et al. (2015) propusieron un modelo con niveles diferenciados de pensamiento algebraico para estudiantes de primaria y secundaria en función de tres criterios: tipo de lenguaje utilizado (e.g., natural, simbólico-literal), grado de generalización de las soluciones y del cálculo sintáctico o analítico utilizado. No obstante, una descripción exhaustiva de los niveles de pensamiento algebraico o de los grupos con distintos rendimientos y comportamientos, basada en la detección de progresión en el comportamiento y el rendimiento de los estudiantes en las tareas algebraicas y no en ciertos criterios predeterminados, podría ofrecer información más detallada y datos adicionales sobre la naturaleza y el desarrollo del pensamiento algebraico de los escolares. Si tenemos en cuenta la naturaleza polifacética de esta disciplina, está claro que se requiere más investigación para la elaboración de un marco que caracterice el desarrollo del pensamiento algebraico de los estudiantes en sus múltiples dimensiones, basado en datos tanto cuantitativos como cualitativos del rendimiento y en el comportamiento de los estudiantes.
Por tanto, los objetivos específicos de este estudio son los siguientes: (a) analizar la estructura del pensamiento algebraico de los estudiantes y proponer un modelo que incorpore la mayoría de las investigaciones anteriores y describa la naturaleza del pensamiento algebraico en sus múltiples dimensiones, (b) ofrecer una descripción exhaustiva de los grupos de los distintos perfiles de pensamiento algebraico con distinto rendimiento y comportamiento, sobre la base de las múltiples dimensiones del pensamiento algebraico y (c) analizar si los distintos rendimientos y comportamientos de los estudiantes en tareas que se corresponden a las distintas dimensiones del pensamiento algebraico revelan una tendencia de progresión desde una perspectiva más procedimental del pensamiento algebraico a una más estructural.
Marco teórico
Descripciones del pensamiento algebraico
Según Kieran (2004), ‘el pensamiento algebraico en los primeros años implica el desarrollo de diferentes modos de pensamiento … tales como analizar las relaciones entre cantidades, identificar estructuras, estudiar el cambio, generalizar, modelar, justificar y predecir’ (p. 149, traducción propia). Aunque Kieran (2004) expone y hace referencia explícita a actividades en las que se puede participar sin utilizar ninguna letra simbólica del álgebra, Kaput (2008) pone toda su confianza en el papel estratégico de la generalización y su simbolización gradual (Kieran, 2011). Kaput (2008) especifica dos aspectos centrales del pensamiento algebraico: (i) hacer y expresar generalizaciones con sistemas simbólicos progresivamente más convencionales, y (ii) la manipulación de formas simbólicas guiada sintácticamente. Estos dos aspectos centrales abarcan tres líneas longitudinales del álgebra escolar: el álgebra como el estudio de estructuras y sistemas abstraídas del cálculo y de las relaciones, el álgebra como el estudio de funciones, relaciones y variación conjunta y, por último, el álgebra como la aplicación de un conjunto de lenguajes de formulación.
Además de las teorías descritas anteriormente, la caracterización del pensamiento algebraico temprano también surge de la gama diversa de aptitudes de pensamiento algebraico que se está estudiando en todo el mundo. La investigación sobre el álgebra temprana revela tres principales áreas de interés que se corresponden con los tres aspectos referidos para describir el pensamiento algebraico temprano: (a) la generalización y el razonamiento sobre la covariación, (b) las generalización de propiedades aritméticas y (c) las capacidades que están relacionadas exclusivamente con la sintaxis algebraica. Los dos primeros aspectos han atraído en su mayor parte la atención de los investigadores, dado que la participación en tareas relacionadas con estos dos aspectos no requiere el uso de notación algebraica (Kieran, 2004). Sin embargo, un número cada vez mayor de estudios recientes (e.g., Brizuela, Blanton, Sawrey, Newman-Owens, & Gardiner, 2015; Hewitt, 2012; Schliemann, Carraher, Goodrow, Caddle, & Porter, 2013) se centran particularmente en la capacidad de los más jóvenes para utilizar, interpretar o transformar expresiones o ecuaciones algebraicas. Por tanto, una investigación coherente sobre la naturaleza del pensamiento algebraico debería incorporar los tres aspectos mencionados (a, b, c). Los resultados de estos tres aspectos se presentan en las siguientes subsecciones, cada una de ellas divididas en función de las capacidades específicas que se espera que los estudiantes desarrollen.
Generalización y razonamiento sobre la covariación
Generalización de patrones-relaciones que incluyen cantidades covariables
En un número importante de estudios (e.g., Blanton & Kaput, 2004; Brizuela et al., 2015; Lannin, 2005) se pone de relieve la capacidad de los escolares de producir ‘generalizaciones de patrones-relaciones en las que se incluyen cantidades covariables’ en tareas con patrones de crecimiento, con tablas de valores de entrada/salida y para expresar la relación de correspondencia entre dos variables (e.g., ‘y es 3 veces x más 2’). Blanton y Kaput (2004) observaron que incluso ya en preescolar, los niños son capaces de pensar en el modo en que dos cantidades covarían (e.g., cada vez que añadimos un perro, tenemos dos ojos más) y ya en primero de primaria son capaces de describir la correspondencia entre ambas cantidades. Por otro lado, también existe evidencia (e.g., Lannin, Barker, & Townsend, 2006) de que incluso los alumnos de los últimos cursos de primaria, y en particular en sexto grado, tienen dificultades cuando se enfrentan a tareas de este tipo. Según los resultados de diversas investigaciones (e.g., Lannin, 2005; Radford, 2008), los estudiantes son capaces de abordar estas tareas de diversas maneras, mediante: (i) la generalización aritmética/estrategia recursiva (e.g., Lannin, 2005; Radford, 2008) en la que los estudiantes se centran en la diferencia constante entre los términos y no consiguen formular una regla directa, (ii) una generalización simple en la que los estudiantes utilizan la estrategia de ensayo y error hasta que dan con la regla que satisface a los datos y (iii) la generalización algebraica o estrategia explícita (Lannin, 2005; Radford, 2008) que reside en la capacidad de identificar lo común en un patrón y de ofrecer una expresión directa de cualquier término en la secuencia (Radford, 2008).
En su trabajo con estudiantes de grado 8, Radford (2008) observó que ‘los estudiantes ya mostraban indicios de pensamiento algebraico cuando trabajaban en la elaboración de un mensaje escrito para expresar la generalización, a pesar de que no utilizaban el simbolismo algebraico convencional’ (p. 258, traducción propia). Del mismo modo, algunos estudios piloto (Chrysostomou, 2014)) mostraron la capacidad de estudiantes de 5° y 6° grado para expresar verbalmente la regla de correspondencia, aunque revelaron las dificultades a las que se enfrentaban para expresarla utilizando notación algebraica. Estos resultados indican que existe un vacío entre la capacidad de los estudiantes de expresar sus generalizaciones utilizando el lenguaje natural y su capacidad de utilizar la notación algebraica. Aunque disponemos de interesantes datos provenientes de Brizuela et al. (2015) que muestran que estudiantes de primer grado son capaces de aprender a pensar con sofisticación sobre la notación de variables y de utilizar dicha notación para representar relaciones entre cantidades covariables, estos prometedores resultados podrían atribuirse a la introducción temprana del concepto de variable y a la participación de los estudiantes en experimentos educativos apropiados en el aula. En el presente estudio, la capacidad de formar y expresar generalizaciones relacionadas con las cantidades covariables requiere la detección de la regla general y de la expresión de esta regla por cualquier medio (palabras, diagramas) puesto que la propia generalización es un indicio de pensamiento algebraico incluso cuando no se expresa mediante notación algebraica (Kieran, 2004). Por eso, en el modelo que sugerimos, la traslación de las expresiones verbales o escritas a símbolos algebraicos implica otro tipo de capacidad distinta (véase subsección Formular relaciones mediante símbolos algebraicos), cuya naturaleza está directamente vinculada al uso de la notación algebraica.
Identificación de los valores correspondientes de las variables y razonamiento sobre la covariación basándose en reglas dadas
Diversos estudios (Blanton & Kaput, 2004; Swafford & Langrall, 2000) proporcionan evidencia de la capacidad de los alumnos para determinar los valores de las variables basándose en reglas y relaciones dadas (que se expresan mediante palabras, símbolos o gráficos) y para razonar sobre la relación entre las dos cantidades covariables. La sustitución de valores en reglas de funciones (facilitadas verbalmente o simbólicamente) está en línea con el conocimiento procedimental de la función (Sfard, 1995). Swafford y Langrall (2000) observaron que los estudiantes de 6° grado tenían dificultades con el uso de fórmulas algebraicas para solucionar problemas y no eran capaces de sustituir los valores en estas reglas para identificar los valores correspondientes de las cantidades covariables. Sin embargo, Blanton y Kaput (2004) ofrecen evidencia de que estudiantes de 2° grado ya eran capaces de utilizar la regla general expresada en lenguaje natural para predecir otros valores correspondientes de las cantidades covariables. Asimismo, en este estudio se analiza esta capacidad mediante tareas que requieren la sustitución de valores en función de reglas expresadas verbalmente (y en algunos casos acompañadas de gráficos), puesto que, en este caso, la atención se centra en cómo comprende el estudiante la covariación y no en su interpretación de la letra como variable (es decir, en fórmulas algebraicas). La interpretación que los estudiantes hacen de la letra como variable hace referencia a otra habilidad que se describe en la subsección Formular relaciones mediante símbolos algebraicos.
Generalización de las propiedades aritméticas
Generalización de propiedades de las operaciones
Muchos educadores e investigadores toman la construcción de generalizaciones a partir de la aritmética como la principal introducción al álgebra (Kaput, 2008). En esta subsección nos centramos en investigaciones sobre la generalización de propiedades de las operaciones. El estudio realizado por Anthony y Walshaw (2002) con estudiantes de 4° y 8°, indicaba la falta de comprensión de los estudiantes respecto de las propiedades de las operaciones y su incapacidad de alcanzar generalizaciones correctas sobre la conmutatividad. Por otro lado, otros estudios que incluyen experimentos educativos (e.g., Bastable & Schifter, 2008; Carpenter et al., 2003) evidencian cómo estudiantes de 2° y 6° grado son capaces de expresar generalizaciones y construir argumentos convincentes sobre las propiedades de las operaciones. Según Blanton, Levi, Crites, y Dougherty (2011), el conocimiento algebraico de las propiedades fundamentales de las operaciones incluye el hecho que estas propiedades representan generalizaciones que son aplicables a todos los números reales y la capacidad de identificar su uso explícitamente en el cálculo. En este estudio se utilizan tareas de este tipo para estudiar la capacidad de los estudiantes para expresar generalizaciones sobre las propiedades de las operaciones.
Generalización de las propiedades de los números
Otro tipo de generalización derivada de las propiedades aritméticas es la generalización sobre una clase o distintas clases de números (Blanton et al., 2011). En esta línea, diversos estudios (e.g., Bastable & Schifter, 2008; Carpenter et al., 2003) aportan evidencia de la capacidad de estudiantes de primaria para alcanzar generalizaciones sobre clases de números como ‘Un numero impar más otro número impar da un número par’. Como señalan Bastable y Schifter (2008), los estudiantes tienden a expresar estas generalizaciones mediante el lenguaje natural o mediante diagramas, en lugar de utilizar símbolos algebraicos. En este estudio, la capacidad de alcanzar generalizaciones y de expresar justificaciones sobre las propiedades de los números hace referencia a la expresión de estas generalizaciones y justificaciones por cualquier medio al alcance de los estudiantes (i.e., lenguaje natural, diagramas). Carpenter et al. (2003) describen las formas de argumentación que los escolares utilizan para justificar estas generalizaciones: (a) apelación a la autoridad, (b) justificación mediante ejemplo con distintos casos numéricos para comprobar las hipótesis y (c) argumentos generalizables en los que el estudiante presenta una argumentación lógica (verbal, simbólica o específica) aplicable a cualquier caso. La investigación sugiere que las justificaciones de los escolares suelen incluir con frecuencia argumentos empíricos basados en la comprobación de diversos casos específicos (Blanton et al., 2011).
Generalización de las propiedades de la igualdad
Como ya se ha mencionado, la aritmética generalizada implica la construcción de generalizaciones mediante relaciones numéricas y operaciones aritméticas y sus propiedades, pero también implica la noción de equivalencia junto a las propiedades de la igualdad (Mestre & Oliveira, 2012). Diversos estudios ofrecen evidencia del razonamiento y las generalizaciones de los estudiantes sobre las propiedades de la igualdad (e.g., Blanton et al., 2011) y sus interpretaciones del signo de igualdad (e.g., Matthews, Rittle-Johnson, McEldoon, & Taylor, 2012). Los resultados de estudios realizados con escolares de 2° y 6° grado indican que los niños que mostraron mayor nivel de maestría para generar una definición relacional del signo de igualdad (i.e., igualdad de las expresiones o de las cantidades representadas a cada lado del signo de igual o de la ecuación) también mostraban mayor tendencia que el resto de estudiantes a responder satisfactoriamente cuando tenían que ofrecer una explicación utilizando propiedades explícitas de la igualdad (Matthews et al., 2012). No obstante, los escolares tienden a interpretar el signo de igual como un operador que significa ‘da como resultado’ a causa de sus experiencias anteriores (e.g., Matthews et al., 2012). Blanton et al. (2018) observaron que incluso antes de recibir enseñanza formal, los niños preescolares ya tienen una concepción operativa del signo de igualdad que puede persistir durante la enseñanza. Para ayudar a los estudiantes a superar sus dificultades, debe prestarse atención a las tareas que se les plantean. Su capacidad de razonamiento y de proponer explicaciones que incluyen propiedades de igualdad puede desarrollarse mediante tareas que requieran razonar sobre las relaciones entre las cantidades y que no inciten a los alumnos a calcular (Blanton et al., 2011). En este estudio, la capacidad de razonamiento sobre las propiedades de la igualdad se analiza precisamente mediante ese tipo de tareas.
Capacidades relacionadas exclusivamente con la sintaxis algebraica
Hallar el valor de la incógnita
La capacidad de resolver ecuaciones es un componente básico del pensamiento algebraico (Cai et al., 2011). Diversos estudios analizan y describen la capacidad de los escolares y las estrategias que estos utilizan para resolver ecuaciones (e.g., Blanton et al., 2011; Brizuela & Schliemann, 2004; Rojano, 1996). En Brizuela y Schliemann (2004), estudiantes de 4° grado adoptaron principalmente estrategias informales para resolver ecuaciones con incógnitas en ambos lados de la ecuación y solo algunos de ellos utilizaron el método de hacer coincidir términos equivalentes a ambos lados del signo para simplificar la ecuación. No obstante, la adopción de estrategias informales (e.g., ensayo y error, ‘operar al revés’) para resolver ecuaciones algebraicas en grados anteriores puede considerarse como el modo en que los estudiantes tratan de entender las situaciones algebraicas (Rojano, 1996; Sfard & Linchevski, 1994). Según Rojano (1996), ‘el ensayo y error, junto al resto de estrategias consideradas informales que se observan en las primeras experiencias de los escolares con el álgebra, son los auténticos cimientos sobre los que se construyen los métodos o estrategias del pensamiento algebraico’ (p. 137, traducción propia). Por tanto, en el presente estudio, la capacidad de averiguar el valor de una incógnita se explora mediante ecuaciones con la incógnita en uno o en ambos lados del signo y en las que los estudiantes pueden adoptar su estrategia de preferencia para resolver la tarea.
Formular relaciones utilizando símbolos algebraicos
Según Blanton y Kaput (2004), ‘un aspecto de particular importancia en el álgebra temprana es la transición de un lenguaje natural a un sistema de notación simbólica’ (p. 12, traducción propia). Los escolares deberían ser capaces de formular relaciones utilizando símbolos algebraicos (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000). Por tanto, se considera necesaria la inclusión también de esta capacidad en el modelo teórico de este estudio, y se analiza la capacidad de los escolares para formular relaciones utilizando símbolos algebraicos mediante tareas que requieren la traslación de expresiones verbales/escritas a ecuaciones, expresiones y formulas algebraicas o viceversa. Diversos estudios (e.g., Brizuela et al., 2015; Schliemann et al., 2013) demuestran que los estudiantes de los primeros cursos de primaria (incluso desde el primer curso) son capaces de traducir problemas verbales y situaciones matemáticas utilizando símbolos algebraicos y notación de variables para representar las relaciones entre las cantidades covariables. Por otro lado, según Van Amerom (2003), existe evidencia de las dificultades de los estudiantes (de todas las edades) para expresar situaciones matemáticas mediante símbolos algebraicos. Los niños tienden a traducir las situaciones escritas o verbales utilizando símbolos algebraicos de izquierda a derecha (e.g., ‘tres menos que cierta cantidad’ se traduce como ‘3 − x’). Esta contradicción puede atribuirse a las diversas edades en las que se introduce la notación algebraica, así como al tipo de instrucción recibida.
Simplificación de expresiones algebraicas
En los primeros cursos escolares se ha puesto menos énfasis en la capacidad de los estudiantes para operar con expresiones algebraicas y ecuaciones y simplificarlas. Aunque existe un consenso general sobre el importante papel del álgebra temprana en el currículum matemático escolar, sigue abierta la cuestión de si los alumnos de primaria están listos para utilizar la sintaxis algebraica y para seguir las reglas sintácticas (Schliemann et al., 2013). No obstante, no debería excluirse el estudio de estas capacidades a la hora de diseñar un modelo exhaustivo para la naturaleza del pensamiento algebraico. Por eso, para explorar la capacidad de los escolares más jóvenes para operar con incógnitas, se recurre a tareas de simplificación de expresiones algebraicas. Las investigaciones con estudiantes de mayor edad han demostrado que los escolares suelen tener dificultades para aceptar una expresión algebraica como respuesta, puesto que consideran que la respuesta es un número específico, un producto numérico de una operación de cálculo. Collis (1974) lo describió en términos de ‘no aceptación de la falta de clausura’. Por otro lado, algunos estudios más recientes (e.g., Hewitt, 2012; Schliemann et al., 2013) ofrecen evidencia de que, con la enseñanza adecuada, escolares de 3° y 5° grado son capaces de operar con símbolos algebraicos y de simplificar expresiones algebraicas.
Kieran (1991) señala el carácter diverso de las capacidades mencionadas anteriormente y que están relacionadas directamente con el uso de la sintaxis algebraica. La autora hace referencia al álgebra procedimental y estructural. La perspectiva procedimental del álgebra se refiere a las operaciones aritméticas como, por ejemplo, hallar el valor de la incógnita en una ecuación tal que 2x + 3 = 7 mediante la sustitución de distintos valores de x. Los objetos con los que se opera son ejemplos numéricos y no expresiones algebraicas (Kieran, 1991). La perspectiva estructural del álgebra implica, por ejemplo, la simplificación de expresiones algebraicas y, por tanto, los objetos con los que se opera son expresiones algebraicas.
Del desarrollo histórico del algebra a los niveles de sofisticación del pensamiento de los estudiantes sobre los conceptos algebraicos
En muchos textos históricos, se considera que existen tres etapas en el desarrollo histórico del álgebra: la etapa retórica, la sincopada y la simbólica (Katz & Barton, 2007). El álgebra retórica hace referencia al estadio en el que el álgebra se escribía con palabras pero sin hacer uso de símbolos matemáticos, con énfasis en los procedimientos aritméticos (Sfard, 1995). La segunda etapa, el álgebra sincopada, se caracterizó por el uso de algunas abreviaciones para las cantidades y operaciones recurrentes con mayor frecuencia y se centró la atención en descubrir los valores de los símbolos algebraicos y no en su uso para representar generalizaciones (Sfard, 1995). En la etapa simbólica, todos los números, todas las operaciones y relaciones se expresan mediante un conjunto de símbolos fácilmente reconocibles, y las manipulaciones de los símbolos tienen lugar siguiendo un conjunto de reglas determinadas (Katz & Barton, 2007).
El desarrollo histórico del álgebra pone de relieve la distinción entre la representación de la incógnita en la ecuación y el uso de símbolos algebraicos para la expresión de generalizaciones (Sfard & Linchevski, 1994). Diversos investigadores defienden que las dificultades que presentan los estudiantes frente al concepto de variable surgen debido a las distintas interpretaciones y a los usos diversos de las variables en el álgebra (Küchemann, 1978; Oldenburg, 2012). El estudio de Küchemann (1978) hace referencia a seis niveles de interpretación de los símbolos algebraicos. Los primeros tres niveles inferiores (1: evaluación de la letra, 2: desconocimiento de la letra y 3: la letra como objeto o como nombre de un objeto) hacen referencia a los errores o la confusión de los estudiantes (Oldenburg, 2012). En el cuarto, quinto y sexto nivel, la letra puede interpretarse respectivamente como una incógnita específica (e.g., en x + 5 = 14), como un número generalizado (e.g., en a + b = b + a) y como una variable (e.g., y = x + 5) (Küchemann, 1978). Por tanto, el análisis histórico del desarrollo del álgebra durante los siglos también refleja el desarrollo cognitivo del pensamiento algebraico de los estudiantes individuales (Lian & Yew, 2012). También puede considerarse como un ciclo de desarrollo procedimental-estructural en el que lo que se concibe operacionalmente (procedimentalmente) en un nivel, debe ser percibido estructuralmente en un nivel superior. La progresión de una visión operacional a una estructural es evidente también en el trabajo de Matthews et al. (2012) sobre el desarrollo de los conocimientos de sus alumnos sobre el signo de igualdad. Este desarrollo comienza con la visión operacional del signo (‘nos da la respuesta’, e.g., 4 + 25 = 29) y la visión operacional en ecuaciones atípicas (‘define lo que aparece a la izquierda del signo’, como en a = 5 + 4, y = 5x + 4) y progresa hacia la visión relacional del signo (como símbolo relacional que expresa equivalencia) (Matthews et al., 2012).
Si contemplamos una descripción más exhaustiva del desarrollo del pensamiento algebraico de los estudiantes, Godino et al. (2015) proponen los siguientes niveles, basándose en ciertos criterios, para la educación primaria: (a) Nivel 0, referido a la ausencia de un razonamiento algebraico propiamente dicho, (b) Nivel 1 incluye la detección de entidades generales expresadas solo mediante lenguaje natural o aritmético y mediante el uso de la igualdad algebraica (equivalencia), (c) El nivel 2 implica el uso de lenguaje alfanumérico pero no se realizan operaciones con variables, y finalmente (d) Nivel 3, que indica un nivel consolidado de pensamiento algebraico y se realizan operaciones con cantidades indeterminadas o variables. Esta transición del uso de lenguaje común o aritmético al uso de símbolos para representar relaciones, y después a las operaciones con símbolos algebraicos, tiene ciertos paralelismos con el desarrollo histórico del álgebra. Sin embargo, deben explorarse estos paralelismos en mayor profundidad sobre la base del rendimiento y el comportamiento del alumno en relación con las múltiples dimensiones del pensamiento algebraico.
Metodología
Muestra y procedimiento
En el estudio participaron 803 estudiantes, de entre 10 y 13 años, de siete escuelas de educación primaria y tres de secundaria, todas ellas en Chipre. Para la selección de las escuelas se aplicó la técnica de muestreo de conveniencia. La muestra consistía en 237 alumnos de quinto curso de primaria, 280 alumnos de sexto curso de primaria y 286 alumnos de séptimo, ya en secundaria. Antes de participar en este estudio, los alumnos de quinto y sexto curso (primaria) habían tenido alguna experiencia breve con actividades orientadas al pensamiento algebraico incluidas en sus materiales de matemáticas, respecto a: (a) generalización de patrones-relaciones que incluyen cantidades covariables, (b) aritmética generalizada con números pares e impares, (c) averiguar el valor de una incógnita en ecuaciones algebraicas simples sin operaciones con símbolos algebraicos, (d) traslación de expresiones verbales a expresiones algebraicas, (e) razonar sobre las propiedades de las operaciones, (f) razonar sobre las propiedades de la igualdad en modelos de equivalencia y (g) interpretación de gráficos lineales. Por otro lado, los estudiantes de séptimo tenían mayor experiencia sobre todos estos conceptos y habían recibido enseñanza formal en operaciones con símbolos algebraicos para simplificar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Los estudiantes tuvieron que completar una prueba de álgebra y, a continuación, 101 de ellos participaron en entrevistas clínicas semiestructuradas.
Prueba de pensamiento algebraico
Ejemplos de ítems de la prueba de pensamiento algebraico.
Índices de ajuste para los modelos con distintos números de clases.
Codificación de los datos de la prueba de pensamiento algebraico
En la codificación de los datos procedentes de la prueba de pensamiento algebraico, se adoptaron dos procedimientos distintos según el tipo de tarea. Debido a las limitaciones de espacio y al gran número de tareas de la prueba, se describen brevemente los dos procedimientos. En primer lugar, para las tareas o subsecciones de las tareas en las que no se requería explicación de la respuesta (e.g., subtareas 1 (a), (b) y (c) en la sección ‘generalización de patrones con cantidades covariables’ en la Tabla 1) se anotó un punto por cada respuesta correcta y cero por cada respuesta incorrecta. En segundo lugar, la tareas o subtareas en las que se requería explicaciones o descripciones (e.g., subtareas (d) y (e) de la tarea ‘generalización de un patrón con cerillas’ en la Tabla 1), se concedió un crédito parcial según el tipo de respuesta obtenida. Por ejemplo, en las subsecciones sobre la generalización de patrones en las que los estudiantes tenían que encontrar y describir la regla general, se anotó un punto para la relación de correspondencia correcta, 0.5 para el enfoque correcto de la covariación y cero para las respuestas incorrectas. Además, las respuestas correctas en las subtareas sobre generalización de patrones en los que se solicitaban los términos siguientes (e.g., el 5° o 6° término) de una secuencia (e.g., en las subtareas 1 (a), (b) y (c) en la tarea ‘generalización de patrones-relaciones con cantidades covariables’ en la Tabla 1), en combinación con las respuestas incorrectas en las subtareas que requerían la relación correspondiente (e.g., subtareas (d) y (e) de la tarea ‘Generalización de un patrón con cerillas’ en la Tabla 1) revelan que el alumno probablemente adoptase una estrategia recursiva. El análisis de las soluciones (en las que anotaron la diferencia constante de los términos de una variable) confirmó esta hipótesis. Según estos datos, el enfoque de los estudiantes o la estrategia en las tareas de generalización determinó su puntuación en estas tareas (sobre la cual se hicieron los análisis cuantitativos, incluida la agrupación de estudiantes). Del mismo modo, en las tareas de aritmética generalizada, el tipo de justificación utilizado por los estudiantes (i.e., el uso de ejemplos aritméticos o argumentos generalizables), determinó su puntuación en esas tareas. Por lo que se refiere a las interpretaciones de los estudiantes sobre el concepto de variable, su puntuación en las tareas en las que se utilizó sintaxis algebraica (1 punto por respuesta correcta, 0 por las incorrectas) indicó si eran capaces o no de interpretar la letra como incógnita, como número generalizado y como variable, según el contexto en el que se utilizó. Durante las entrevistas, se exploraron en mayor detalle otros datos sobre los errores de los alumnos en torno al concepto de variable, o su manera de averiguar la relación de correspondencia (i.e., ensayo o error o generalización algebraica), así como su percepción sobre si el uso de ejemplos aritméticos indicaba una justificación suficiente o sus estrategias para hallar el valor de las incógnitas.
Análisis de los datos de la prueba de pensamiento algebraico
El coeficiente de fiabilidad de los ítems incluidos en la prueba de pensamiento algebraico era de α = .91, considerado excelente. Para el primer objetivo de la prueba, el análisis de la estructura del pensamiento algebraico, se realizó un análisis factorial confirmatorio (AFC) utilizando el programa estadístico MPLUS (Muthén & Muthén, 2007). Para el tercer objetivo del estudio, sobre el análisis de la existencia de una tendencia específica de desarrollo, se utilizó también el mismo programa (MPLUS) para realizar un análisis del modelo de ecuaciones estructurales. Se comprobó la bondad del ajuste a los modelos en función de tres índices de ajuste. Los valores del CFI deberían ser mayores de .95, los valores del índice RMSEA deberían ser menores de .05 y los valores observados para χ2/gl deberían ser menores de 2, para corroborar el ajuste del modelo (Marcoulides & Schumacker, 1996). Por lo que respecta al segundo objetivo del estudio, sobre la investigación de los distintos perfiles del pensamiento algebraico de los estudiantes, se llevó a cabo un análisis de clases latentes para estudiar si se podían establecer distintos grupos de estudiantes en función de las diferencias en su capacidad de pensamiento algebraico. Este análisis ofrece índices apropiados para evaluar la posibilidad de agrupar a los sujetos en un número distinto de grupos: (a) el índice de entropía, según el cual los valores más elevados reflejan una clasificación más satisfactoria de los individuos, y (b) los índices AIC y BIC, que demandan los valores más reducidos.
Entrevistas
Para contar con una descripción más detallada de los perfiles de pensamiento algebraico de los estudiantes, se hicieron entrevistas clínicas semiestructuradas con 25–26 estudiantes de cada grupo. En la selección de estudiantes que participaron en las entrevistas se recurrió a la técnica de muestreo intencional para identificar y seleccionar casos ricos en información, con los que pudiéramos ampliar nuestros conocimientos sobre cuestiones de vital importancia en nuestra investigación (Patton, 2002). Se grabaron todas las conversaciones mantenidas durante las entrevistas, que tuvieron una duración de entre 25 y 40 minutos, y en las que cada uno de los alumnos entrevistados tenía que resolver ocho tareas relacionadas con el pensamiento algebraico en las que se planteaban situaciones similares a las incluidas en la prueba de pensamiento algebraico descrita anteriormente. Durante las entrevistas, se pidió a los estudiantes que expresaran en voz alta sus razonamientos mientras trataban de resolver las tareas (1, 2, 3, 4a, 4b, 5, 6, 7), cada una de las cuales se correspondía con una de las ocho capacidades relacionadas con el pensamiento algebraico descritas anteriormente en las subsecciones del marco teórico. La tarea 4 incluía dos secciones/preguntas distintas (4a/4b), cada una de ellas centrada en una capacidad de pensamiento algebraico distinta, aunque ambas preguntas versaban sobre el mismo contexto o historia. La entrevistadora formuló a todos los participantes algunas preguntas predeterminadas en cada una de las tareas, mientras que otras preguntas surgieron espontáneamente en función de las respuestas facilitadas por los alumnos y de los errores o dificultades a las que estos se enfrentaron durante el procedimiento.
En el diseño mixto de investigación adoptado en este estudio se hizo uso de datos cualitativos obtenidos durante las entrevistas para explorar los resultados cuantitativos. En particular, la fase cualitativa se construye directamente sobre la fase cuantitativa, por lo que los resultados cuantitativos se explican en más detalle mediante los datos cualitativos (Creswell & Plano Clark, 2007). Por lo tanto, las tareas utilizadas durante las entrevistas eran muy similares a las incluidas en la prueba. Los datos recopilados en las entrevistas proporcionaron información adicional sobre el razonamiento de los estudiantes, sus estrategias y las dificultades a las que se enfrentaban, y contribuyeron a lograr una descripción más detallada de los distintos perfiles de pensamiento algebraico.
Durante los análisis de los datos obtenidos en las entrevistas, se estabecieron ciertos códigos sobre: (a) el enfoque adoptado por los estudiantes en las tareas de generalización que incluían cantidades covariables (c1: estrategia recursiva, c2: enfoque covariacional, c3: relación de correspondencia); (b) el tipo de justificación ofrecida por los estudiantes en las tareas de aritmética generalizada (c4: uso de un ejemplo aritmético, c5: uso de diversos ejemplos aritméticos, c6: argumentos generalizables, c7: reconocimiento de que el uso de ejemplos aritméticos no es suficiente); (c) su interpretación del concepto de variable en tareas en las aparecía sintaxis algebraica (c8: la letra como una incógnita específica, c9: la letra como un número generalizado, c10: la letra como una variable); (d) sus errores sobre el concepto de variable (c11: letra evaluada, c12: letra ignorada, c13: letra como nombre de un objeto; (e) su interpretación del signo de igualdad (c14: nos da el resultado, c15: define lo que aparece a la izquierda del signo, c16: visión relacional del signo); (f) la estrategia adoptada para averiguar el valor de las incógnitas en las ecuaciones con una incógnita en uno o ambos términos de la ecuación (c17: ensayo y error y sustitución de valores, c18: cancelación o adición de las mismas cantidades en ambos lados de la ecuación) y (g) cómo identifican la relación de correspondencia entre las cantidades covariables (c19: ensayo y error hasta ‘descubrir’ la regla, c20: generalización algebraica basada en la interpretación de la imagen del patrón). La identificación de los patrones o las semejanzas respecto de las estrategias, enfoques, justificaciones y errores de los estudiantes que participaron en las entrevistas de cada grupo o clase de pensamiento algebraico (que surgieron del análisis de clases latentes) se basó en la frecuencia de la ocurrencia de los incidentes (descritos mediante los códigos antes mencionados) en los respectivos intentos de cada clase/grupo para resolver las tareas.
Resultados
La estructura del pensamiento algebraico
Para investigar la estructura del pensamiento algebraico, comprobamos la validez de un modelo teórico, que sugiere que el pensamiento algebraico consta de tres aspectos (factores de segundo orden): (a) ‘generalización y razonamiento sobre la covariación’, (b) ‘generalización de las propiedades aritméticas’, y (c) ‘capacidades relacionadas exclusivamente con la sintaxis algebraica’ (véase Figura 1). Además, según el modelo, el primer aspecto se compone de las siguientes capacidades (factores de primer orden): ‘generalización de patrones-relaciones que incluyen cantidades covariables’ (Gc) y ‘identificación de los valores correspondientes de las variables y razonamiento sobre la covariación basándose en reglas dadas’ (Rc). El segundo aspecto se compone de las capacidades (factores de primer orden): ‘generalización de las propiedades de las operaciones’ (Go), ‘generalización de las propiedades de los números’ (Gn) y ‘generalización de las propiedades de la igualdad’ (Ge). Por último, el tercer aspecto se compone de las capacidades: ‘hallar el valor de la incógnita’ (Vu), ‘formular relaciones utilizando símbolos algebraicos’ (Mo) y ‘simplificar las expresiones algebraicas’ (Sm) (véase Figura 1). Así pues, el modelo consta de un total de ocho factores de primer orden. El modelo de pensamiento algebraico.
Los resultados de los análisis factoriales confirmatorios demostraron que los datos de investigación se ajustaban muy bien al modelo teórico (CFI = .996, TLI = .995, 
Clases de estudiantes según su rendimiento en la prueba de pensamiento algebraico
Para investigar si existen subgrupos con comportamientos similares, se llevó a cabo un análisis de clases latentes basado en las respuestas de los estudiantes a los ítems de la prueba de pensamiento algebraico. Se comprobó la validez de los cuatro modelos consecutivos según el cual los participantes en el estudio podían dividirse en dos, tres, cuatro o cinco grupos con comportamientos similares en la prueba de pensamiento algebraico. El modelo con cinco grupos fue rechazado y excluido de la comparación dado que no se logró replicar el mejor valor de log-verosimilitud un mínimo de cinco veces (Muthén & Muthén, 2007). Los resultados de los análisis muestran que el mejor modelo con el mayor valor de entropía y menor valor de los índices AIC y BIC era la solución con cuatro grupos de estudiantes (entropía = .884, AIC = 8049.749, BIC = 8696.742), como se presenta en la Tabla 2. El mismo resultado, con un modelo de cuatro grupos, emergió como el mejor de la prueba de la razón de verosimilitud por remuestreo paramétrico (Muthén & Muthén, 2007). La probabilidad media de clase latente para la mayoría de la categoría oscilaba entre .916 y .958, lo que indica un buen ajuste del modelo.
Porcentaje de estudiantes en cada una de las cuatro clases.
Medias y desviaciones típicas del rendimiento en las ocho capacidades de pensamiento algebraico en las cuatro clases.
La existencia de un patrón en el rendimiento de los alumnos en cada clase (véase Tabla 4) respecto a nivel de dificultad de las capacidades de pensamiento algebraico (ocho factores de primer orden) en cada aspecto del pensamiento algebraico (tres factores de segundo orden), y en combinación con el desarrollo de conceptos algebraicos presentados en la literatura, corroboran la hipótesis de la existencia de una tendencia de desarrollo específica. En particular, para investigar esta hipótesis, se comprobó un modelo según el cual: (a) el rendimiento en ‘hallar el valor de la incógnita’ puede predecir el rendimiento en ‘formular relaciones utilizando símbolos algebraicos’ y que este último puede predecir el rendimiento en ‘simplificar expresiones algebraicas’, (b) el rendimiento en la ‘generalización de las propiedades de la igualdad’ puede predecir el rendimiento en la ‘generalización de propiedades de las operaciones’ y que esta última puede predecir el rendimiento en la ‘generalización de propiedades de los números’, y (c) el rendimiento en ‘identificación de los valores correspondientes entre variables y razonar sobre la covariación basándose en reglas dadas’ puede predecir el rendimiento en ‘generalización de patrones-relaciones que incluyen cantidades covariables’. Los resultados de los análisis de ecuaciones estructurales mostraron que los datos de la investigación se ajustaban muy bien al modelo teórico (CFI = .996, TLI = .995, x
2 = 326.068, gl = 295, x
2/gl = 1.105, RMSEA = .011). Los coeficientes de regresión del modelo eran elevados y significativos estadísticamente (véase Figura 2). Relaciones entre las capacidades de pensamiento algebraico.
Basándonos en este modelo, vemos que los estudiantes: (a) adquieren primero la capacidad de ‘hallar el valor de la incógnita’, seguida por la capacidad de ‘formular relaciones utilizando símbolos algebraicos’ y después adquieren la capacidad de ‘simplificar expresiones algebraicas’; (b) adquieren primero la capacidad de ‘generalizar las propiedades de la igualdad’, seguida de la capacidad de ‘generalizar propiedades de las operaciones’ y, después, la capacidad de ‘generalizar propiedades de los números’; y (c) primero adquieren la capacidad de ‘identificación de los valores correspondientes de las variables y razonar sobre la covariación basándose en reglas dadas’, seguida por la capacidad de ‘generalizar patrones-relaciones que incluyen cantidades covariables’.
Características y comportamiento de las cuatro clases de estudiantes
Se analizaron la puntuación media del rendimiento en cada ítem de las ocho capacidades de pensamiento algebraico, los tipos de estrategia adoptada, los tipos de justificación utilizada y las dificultades y errores de los estudiantes para cada una de las clases. En primer lugar se presenta una sinopsis de las características de las cuatro clases de estudiante en la Figura 3. En las subsecciones siguientes se presenta una descripción detallada del rendimiento y el comportamiento de cada clase de estudiante, basada tanto en los resultados cuantitativos como en los datos cualitativos recabados en las entrevistas. La descripción del rendimiento y el comportamiento de cada clase que se presenta a continuación se distribuye en tres dimensiones centradas en: (a) los ítems en los que los estudiantes de cada clase muestran un gran rendimiento; (b) las estrategias y las justificaciones utilizadas por los estudiantes de cada clase en las tareas de ‘generalización de las propiedades aritméticas’ y de ‘generalización y razonamiento sobre la covariación’, facilitando información sobre la generalidad de sus soluciones y (c) las interpretaciones, dificultades y estrategias mostradas por los estudiantes de cada clase en tareas sobre las ‘capacidades relacionadas exclusivamente con la sintaxis algebraica’, que facilitan información sobre sus acciones en contextos de notación algebraica convencional. Cabe señalar que en las descripciones que se presentan a continuación para cada clase se incluye el rendimiento y el comportamiento comunes de los estudiantes de esa clase (basados en el análisis de clases latentes), estudiantes de 5°, 6° o 7° curso. Las características del rendimiento y del comportamiento de cada clase no varía en función del curso (5°, 6° y 7°). Sinopsis de las características de cuatro clases de estudiantes en función de sus capacidades de pensamiento algebraico.
Rendimiento y comportamiento de los estudiantes de la Clase 1
Los estudiantes de la Clase 1mostraron un nivel de rendimiento bajo en todos los ítems de la prueba de pensamiento algebraico menos en dos. En particular, mostraron un rendimiento elevado en el ítem en el que los estudiantes tenían que encontrar el valor de la incógnita en dos ecuaciones sencillas que incluían sumas (e.g., si d + d + d = 15, entonces d = __) y se podía hallar la respuesta sin hacer operaciones inversas. No obstante, mostraron un rendimiento bajo en todos los demás ítems de resolución de ecuaciones. También mostraron un rendimiento elevado en el ítem en que los estudiantes tenían que crear un gráfico lineal basado en una tabla de valores para dos cantidades covariables. Sin embargo, no eran capaces de emparejar el gráfico lineal correcto a una situación real en otros ítems de la misma capacidad (‘identificación de los valores correspondientes de las variables y razonar sobre la covariación en función de unas reglas dadas’) y mostraron un rendimiento bajo en todos los demás ítems de esta capacidad.
Los estudiantes de la Clase 1 no lograron formular generalizaciones. Adoptaron solo estrategias recursivas-aritméticas (Radford, 2008) para la identificación de los términos siguientes en un patrón o secuencia (e.g., 4° o 5° término) y no consiguieron responder a los ítems sobre aritmética generalizada, lo que indica una falta de comprensión conceptual sobre las propiedades de las operaciones y las propiedades de los números. En las tareas de aritmética generalizada, los estudiantes de la Clase 1 tuvieron dificultades e incluso cuando daban una respuesta, su trabajo se basaba en un ejemplo aritmético determinado y no en argumentos generalizables. Sus respuestas también indicaron que sus conocimientos sobre el signo de igualdad se reducían al significado de ‘da como respuesta’ y no consiguieron resolver las tareas sobre ‘generalizar las propiedades de la igualdad’, que requerían un conocimiento relacional del signo (Matthews et al., 2012).
En las tareas ‘formular relaciones utilizando símbolos algebraicos’ y ‘simplificación de las expresiones algebraicas’, los estudiantes de la Clase 1 presentaban números por respuesta, en lugar de expresiones algebraicas. Los estudiantes de este grupo no eran capaces de interpretar el símbolo algebraico en situaciones en las que debería interpretarse como un número generalizado o como una variable, y apenas presentaban evidencia alguna de interpretar la variable como una incógnita específica (Küchemann, 1978) en ecuaciones sencillas.
Rendimiento y comportamientos de los estudiantes de la Clase 2
Los estudiantes de la Clase 2 mostraban un alto rendimiento en los mismos 2 ítems que los de la Clase 1 respondían correctamente; sin embargo, también mostraron un rendimiento elevado en los siguientes cinco tipos de ítems: (a) aquellos en los que la generalización de la relación entre dos cantidades covariables presentadas en una tabla con valores de entrada/salida debía ser expresada con palabras (tareas Gc), (b) tareas en las que debía hallarse el valor de la incógnita en ecuaciones con la incógnita en primer término a la izquierda del signo y en las que había una resta o una división (tareas Vu), (c) tareas en las que debían completarse algunos vacíos utilizando la propiedad transitiva de la igualdad y la desigualdad (tareas Ge), (d) rellenar vacíos en ecuaciones utilizando el inverso aditivo o el inverso multiplicativo (tarea Go) y (e) interpretar un gráfico lineal que representa la relación entre dos cantidades covariables (tarea Rc). El aspecto común en estas tareas era que podían ser resueltas o abordadas mediante cálculo, utilizando o mencionando casos específicos o ejemplos aritméticos o bien utilizando estrategias informales (e.g., ensayo y error). Aunque sus esfuerzos en algunas tareas resultaron en generalizaciones, o revelaron su capacidad de resolver ecuaciones, o indicaron algún razonamiento sobre la covariación, estas acciones se basaban en cálculos cono números y con pruebas con números y, por tanto, los objetos con los que operaban eran números y el comportamiento básico era procedimental.
Más concretamente, en los ítems sobre la generalización de relaciones-patrones y por lo que respecta a estrategias y enfoques, los estudiantes de la Clase 2 fueron capaces de encontrar la relación de correspondencia entre las dos variables en el ítem con valores de entrada/salida utilizando un enfoque similar al de ‘ensayo y error’ pero tuvieron dificultades con los dos ítems que incluían patrones geométricos crecientes. En estas tareas, la mayoría de los estudiantes de la Clase 2 adoptó una estrategia recursiva para dar con los siguientes términos de la secuencia (e.g., 4°, 5° o 6° término). De un modo similar, en los ítems que incluían la generalización de propiedades de los números y propiedades de las operaciones, incluso cuando eran capaces de responder (correcta o incorrectamente), sus justificaciones se basaban en ciertos ejemplos aritméticos y no eran capaces de aplicar razonamientos generalizables. En cuanto al ítem que requería un razonamiento sobre el inverso aditivo o el inverso multiplicativo, las generalizaciones de los estudiantes se basaron en ensayos con números. Del mismo modo, los estudiantes de la Clase 2 fueron incapaces de razonar sobre las propiedades de la igualdad en ítems que requerían el conocimiento relacional del signo igual. No obstante, su éxito con uno de los ítems sobre esta capacidad relacionado con las propiedades de la igualdad (e.g., si Α = Β y Β = C, entonces Α__C) estaba basado en que escribieron números (ejemplos específicos) sobre los símbolos algebraicos para ayudarse a resolver la tarea. En la capacidad ‘identificación de los valores correspondientes de las variables razonando sobre la covariación basándose en reglas dadas’, su éxito (alto rendimiento) se limitó exclusivamente a los dos ítems que incluían gráficos (elaborar un gráfico e interpretar un gráfico) y no a los otros dos ítems relacionados con esta capacidad, en los que se requerían conclusiones y un razonamiento más detallado sobre la covariación.
Los estudiantes de la Clase 2 presentaron mayor evidencia que los de la Clase 1 de sus conocimientos y comprensión del símbolo algebraico como incógnita específica. Además, por sus explicaciones, también era evidente que adoptaron principalmente la estrategia de ‘ensayo y error’ o una estrategia similar para ‘trabajar hacia atrás’ y resolver la ecuación que incluía una división (
Rendimiento y comportamiento de los estudiantes de la Clase 3
Los estudiantes de la Clase 3 mostraron un rendimiento elevado en todas las tareas que los de la Clase 2 había completado con éxito, pero además mostraron también un rendimiento elevado en los ítems que requerían las siguientes capacidades: (a) razonamiento sobre las propiedades de la igualdad y una interpretación relacional del signo de igualdad (tarea Ge), (b) formular relaciones utilizando símbolos algebraicos y uso de expresiones algebraicas, ecuaciones y reglas sobre la relación entre las cantidades covariables (tarea Mo), (c) generalización de un patrón geométrico creciente expresada en palabras (tarea Gc), (d) hallar el valor de la incógnita en una ecuación con la incógnita en ambos lados del signo (tarea Vu), (e) razonamiento sobre la relación entre dos cantidades covariables basado en la regla dada (tarea Rc).
Los estudiantes de esta clase, a diferencia de los de la Clase 2, no confiaban exclusivamente en los cálculos con números o en el uso de estrategias informales (como el ensayo y error), y se centraban más en detectar las relaciones y reflexionar sobre ellas. La mayoría de los estudiantes explicaron que habían desentrañado la regla general para el patrón con la tabla de valores de entrada/salida ‘de inmediato’ centrándose en la relación entre los valores correspondientes (y solo unos cuantos estudiantes mencionaron un enfoque similar al ensayo y error). En la tarea del patrón geométrico con la regla general ‘2 + 1’, casi todos los estudiantes de la Clase 3 explicaron cómo habían encontrado la relación basándose en la representación visual del patrón, sin recurrir a la estrategia de ensayo y error. Sin embargo, tuvieron dificultades con la tarea de patrón geométrico con la regla ‘3n + 1’ (véase Tabla 1), que requería transferir esta generalización a un contexto similar. La mayoría de ellos no era capaz de encontrar el término n° 100, ni sabían describir con palabras la regla general del patrón y, por tanto, no podían transferir la generalización a otra situación similar. Algunos de los estudiantes de la Clase 3, debido a las dificultades que tenían para analizar la representación visual de la secuencia, recurrieron a una estrategia recursiva que les permitía encontrar únicamente el término siguiente (e.g., el 4° o el 5°). En cuanto a la capacidad de ‘identificación de los valores correspondientes de las variables y reflexionar sobre la covariación basándose en las reglas dadas’, los estudiantes de la Clase 3 mostraron un rendimiento elevado en tres de los cuatro ítems relacionados con esta capacidad, con la excepción del ítem en el que se requería la comparación de dos reglas distintas (véase Tabla 1). En los ítems sobre la generalización de las propiedades de los números y de las operaciones, los estudiantes de esta clase dieron con las respuestas correctas, aunque no supieron justificarlas mediante argumentos generalizables y utilizaron ejemplos aritméticos. Su trabajo, que incluía diversos ejemplos aritméticos, y sus razonamientos durante las entrevistas indicaban que muchos de ellos eran conscientes de que los ejemplos aritméticos no eran suficiente. No obstante, no eran capaces de ofrecer argumentos generalizables como justificación. La mayoría, sin embargo, era capaz de presentar justificaciones apropiadas en ítems que implicaban la generalización de las propiedades de la igualdad, haciendo referencias explícitas a las propiedades de la igualdad.
El trabajo de los estudiantes de la Clase 3 arrojó más evidencia (que las anteriores) de su capacidad de interpretar el símbolo algebraico como incógnita. Sus estrategias en los ítems que requerían hallar el valor de la incógnita discrepaban de las estrategias utilizadas por los estudiantes de la Clase 2. Muchos de los primeros no adoptaban una estrategia de ensayo y error para hallar el valor de la incógnita en las ecuaciones 
Rendimiento y comportamiento de los estudiantes de la Clase 4
Los estudiantes de la Clase 4 mostraban un rendimiento elevado en todas las capacidades de pensamiento algebraico y su principal diferencia con las clases anteriores residía en su capacidad avanzada para centrarse en la estructura de las situaciones y en que eran capaces de operar con símbolos algebraicos. Sus comportamientos indicaban un nivel elevado de abstracción. La diferencia entre la Clase 3 y la Clase 4 reside principalmente en que los estudiantes de la Clase 4: (a) resolvían con éxito tareas de simplificación de expresiones algebraicas, (b) mostraban un rendimiento elevado en ítems que requerían la justificación de las propiedades de operaciones y de números, con lo que demostraban un conocimiento conceptual de las propiedades de las operaciones y los números, (c) ofrecían mayor evidencia que los estudiantes de otras clases sobre su familiaridad con la sintaxis algebraica, y (d) tenían un rendimiento más elevado en los ítems más difíciles de cada capacidad algebraica, que los estudiantes de las otras clases no conseguían solucionar.
Los enfoques y las estrategias adoptados por los estudiantes de la Clase 4 ponen de relieve su capacidad de centrarse y detectar las estructuras. Por ejemplo, estos estudiantes conseguían generalizar el patrón más complejo de la prueba con la regla general 3n + 1 (véase Tabla 1); la mayoría de ellos abordó y resolvió este patrón mediante la generalización algebraica (Radford, 2008) y era capaz de transferir esa generalización a un nuevo contexto similar. En lo referente a la capacidad de ‘Identificación de los valores correspondientes de las variables y razonar sobre la covariación basándose en reglas dadas’, los estudiantes de la Clase 4 fueron los únicos que mostraron un rendimiento elevado en el ítem que requería la comparación de dos reglas distintas (véase Tabla 1) y fueron capaces de explicar su respuesta. Los estudiantes de esta Clase mostraron también un rendimiento elevado en todos los ítems relacionados con la generalización de las propiedades de operaciones y de los números, y la mayoría de ellos ofrecían argumentos generalizables como justificaciones (Carpenter et al., 2003) lo que indica un conocimiento conceptual de las propiedades de las operaciones y los números. Además, estos estudiantes mostraban también un rendimiento elevado (como los de la Clase 3) en todos los ítems sobre la generalización de las propiedades de la igualdad y ofrecían argumentos generalizables como justificación sobre dichas propiedades.
Por lo que respecta a la capacidad de ‘hallar el valor de la incógnita’, los estudiantes de la Clase 4 mostraron un rendimiento elevado en todas las tareas, incluido el ítem con una desigualdad, y ofrecieron explicaciones adecuadas, lo que indica que sus conocimientos no se limitan al caso de las ecuaciones. En la ecuación 
Discusión
Los resultados del estudio sugieren que el pensamiento algebraico puede describirse mediante estos tres aspectos: el razonamiento sobre la covariación, la generalización de las propiedades aritméticas y las capacidades directamente relacionadas con la sintaxis algebraica, cada una de las cuales está compuesta de capacidades específicas (como se describe detalladamente en la sección de Resultados). Los primeros dos aspectos, el razonamiento sobre la covariación y la generalización de las propiedades aritméticas, están en línea con la idea de que los estudiantes pueden expresar sus generalizaciones por cualquier medio. Esta idea resta importancia al uso de sintaxis algebraica en favor de la expresión deliberada de la generalización por cualquier medio al alcance del estudiante, y en particular el lenguaje natural o los dibujos (Kaput, 2008). Sin embargo, en el tercer aspecto del modelo propuesto, que hace referencia a las ‘capacidades directamente relacionadas con la sintaxis algebraicas’, es necesaria la presencia y el uso de la notación algebraica. Este tercer aspecto está en línea con la consideración de las operaciones con los símbolos basadas en reglas como el sello distintivo del pensamiento algebraico, tanto si dichas operaciones sirven para la generalización o la formulación como si no (Kaput, 2008). Los resultados del presente estudio sobre los componentes del pensamiento algebraico indican que el modelo propuesto tiene en cuenta ambas concepciones y confirma, también, la naturaleza polifacética del pensamiento algebraico con base en datos empíricos. Esta naturaleza polifacética del pensamiento algebraico temprano pone de relieve la importancia de poner a disposición de los estudiantes de primaria actividades que hagan referencia a las diversas dimensiones del pensamiento algebraico y pone de relieve también la necesidad de investigaciones adicionales sobre si este enfoque facilita el desarrollo del pensamiento algebraico.
Nuestros resultados confirman también la presencia de una tendencia vinculada al nivel de dificultad en todas las capacidades de pensamiento algebraico (factores de primer orden) en cada uno de los aspectos del pensamiento algebraico (factores de segundo orden) y sugieren, a su vez, una tendencia específica de desarrollo. En particular, los resultados muestran que las capacidades que se alinean con una perspectiva procedimental del pensamiento algebraico (e.g., hallar el valor de la incógnita, identificación de los valores correspondientes de las variables basándose en reglas dadas) emergen primero, mientras que las capacidades relacionadas con una perspectiva más estructural del pensamiento algebraico (e.g., simplificar expresiones algebraicas, generalización de patrones-relaciones en las que aparecen cantidades covariables) presentan más dificultades a los estudiantes y, por tanto, emergen más tarde. También se observa el progreso desde la ‘generalización de las propiedades de la igualdad’, que está relacionada con una perspectiva más procedimental del pensamiento algebraico (e.g., ‘Sumo la misma cantidad en ambos lados de la ecuación para mantener la igualdad’) y que emerge primero, hacia la ‘generalización de las propiedades de los números’, que está relacionada con una perspectiva más estructural del pensamiento algebraico y que requiere un razonamiento sobre la estructura de los números. Por tanto, a la luz de estos resultados, se aporta evidencia de que el desarrollo del pensamiento algebraico y de los conceptos relacionados con estas capacidades están en línea, en primer lugar, con las dos perspectivas del álgebra propuestas por Kieran (1991) (álgebra procedimental y álgebra estructural) y con la teoría de Sfard, según la cual, los aspectos procedimentales aparecen primero y los estructurales se desarrollan después.
Asimismo, los resultados están en línea con el desarrollo histórico del álgebra, puesto que el reconocimiento de la incógnita y ‘hallar el valor de la incógnita’ emergen primero y están más relacionados con el estadio sincopado del álgebra. La capacidad que surge después es la relacionada con ‘formular relaciones mediante símbolos algebraicos’, que está relacionada con el álgebra simbólica y, más tarde, la de ‘simplificar expresiones algebraicas’, que también se relaciona con la fase de álgebra simbólica. La capacidad de ‘formular relaciones mediante símbolos algebraicos’ emerge antes de la capacidad de ‘simplificar expresiones algebraicas’, probablemente debido a que en el primer caso, las expresiones algebraicas y las ecuaciones todavía están vinculadas un contexto, bien verbal o bien gráfico (Radford & Puig, 2007). Por otro lado, la simplificación de expresiones algebraicas y la transformación de expresiones y ecuaciones resulta más difícil puesto que, en este caso, los símbolos algebraicos deben interpretarse como objetos sin contexto (Radford & Puig, 2007).
Tomando como base los resultados para las múltiples dimensiones del pensamiento algebraico y una síntesis de teorías y resultados de investigaciones previas, en este estudio se describen cuatro grupos de perfiles de pensamiento algebraico distintos, con el objeto de estudiar y caracterizar el desarrollo del pensamiento algebraico temprano. Los estudiantes de la Clase 1 mostraban un rendimiento bajo en todas las capacidades de pensamiento algebraico, sin evidencia de la capacidad de generalización, y utilizaban el cálculo con números para averiguar únicamente el siguiente término de un patrón y la incógnita en ecuaciones simples. Por tanto, su comportamiento se describió como ‘pre-algebraico’. El comportamiento de los estudiantes de esta clase está en línea con el Nivel 0 propuesto por Godino et al. (2015). Los estudiantes de la Clase 2 adoptaron principalmente estrategias informales (e.g., ensayo y error) incluso en las tareas de generalización, y fueron capaces de resolver tareas mediante enfoques procedimentales y que implicaban únicamente la concepción operacional del signo de igualdad. Por ello, se describió su comportamiento como ‘proto-algebraico-procedimental’. El comportamiento de los estudiantes de esta clase se asemeja al del Nivel 1 propuesto por Godino et al. (2015); sin embargo, las descripciones de estos autores sobre el Nivel 1 incluye la idea de equivalencia y de pensamiento relacional, aspectos que no eran evidentes en el comportamiento de los estudiantes de la Clase 2 en nuestro estudio. Los estudiantes de la Clase 3 eran capaces de formular relaciones mediante símbolos algebraicos, razonar sobre las igualdades y las ecuaciones de manera relacional y se centraban más en detectar y reflexionar sobre las relaciones. Por tanto, su comportamiento se definió como ‘pensamiento algebraico relacional-simbólico’. El comportamiento de este grupo guarda semejanzas (i.e., el uso de la notación algebraica para representar relaciones) con algunas características del Nivel 2 proto-algebraico descrito por Godino et al. (2015). Los estudiantes de la Clase 4 mostraron un rendimiento elevado en todos los aspectos del pensamiento algebraico: eran capaces de centrarse en la estructura de las situaciones y de simplificar las expresiones algebraicas, por lo que se definió su comportamiento como ‘pensamiento algebraico estructural-global’. El comportamiento de este grupo de estudiantes está en línea con el nivel consolidado de pensamiento algebraico (Nivel 3) propuesto por (Godino et al. (2015).
Las descripciones detalladas de los cuatro perfiles de pensamiento algebraico de este estudio pueden ofrecer al docente un medio de clasificar el comportamiento de los estudiantes, identificar sus dificultades y seleccionar las actividades de álgebra temprana más adecuadas para ayudarles a resolver estas dificultades. No obstante, teniendo en cuenta que en el presente estudio no se obtuvieron datos longitudinales sobre el pensamiento algebraico, futuros estudios deberían centrarse en el estudio de los modelos de desarrollo del pensamiento algebraico de los estudiantes e investigar cómo estos progresan de una fase a otra. Recientes estudios presentados en Blanton, Brizuela, et al. (2018) se han centrado en el desarrollo y la evaluación a largo plazo del pensamiento algebraico temprano, mostrando que, con una enseñanza adecuada, los niños son capaces de comprender y manejar una amplia y diversa gama de conceptos algebraicos. Asimismo, investigaciones futuras deberían centrarse en analizar el impacto que las intervenciones de álgebra temprana podrían tener en estudiantes con distintos niveles o perfiles de pensamiento algebraico y en los tipos de intervención que son más adecuados para estudiantes de los niveles inferiores.
